ケイリー・ハミルトンの定理
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ケイリー・ハミルトンの定理(Cayley-Hamilton's theorem) とは、正方行列 A とその固有多項式（特性多項式） fA(x) = det(xE - A) に対して、fA(A) = 0 が成り立つという定理のことである。ただし、det は行列式であり、fA(A) = 0 の右辺は零行列を意味するものとする。
おもにケイリーの仕事であるが、ここにハミルトンの名が冠せられているのは 3 次の場合に彼の詳しい研究があったからである。
[編集] 二次の場合
2 次の正方行列 A に対して A2 - tr(A) + det(A)E = O が成り立つ。ただし、tr(A) は A のトレース。 これは
とおくと、A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O が成り立つということである。 ただし E を 2 次の単位行列、O を零行列とする。以下同じ。
この場合はたいした計算量もないので、単なる成分比較で証明可能であり、高校の数学でもお馴染みである。
[編集] 証明
- A2 − (a + d)A
- = {A − (a + d)E}A
- = ( − ad + bc)E
であるから、A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O すなわちケイリー・ハミルトンの定理は成り立つ。
