Teorema de Cayley-Hamilton
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En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.
En términos de matriz, eso significa que :
si A es una matriz cuadrada de orden n y si
es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces alsustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:
El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.
Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de une matriz dada es un divisor de su polinomio característico.
[editar] Motivación
Este teorema tiene dos familias de uso:
- Permite establecer resultados teóricos, por ejemplo para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente.
- Permite también simplificaciones poderosas en el cálculo de matrices. La aproximación por polinomios mínimos es en general menos costosa que la que se hace por determinantes.
Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices.
[editar] Demostración
Efectuamos la demostración sobre la matriz A. Definamos la matriz B(X) = tcom(XI − A). Sabemos que
Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas nxn con coeficientes en K y esa igualdad implica que P(X).I es divisible por la izquierda por XI − A. Esto implica entonces que el valeur a la derecha (igual en realidad aquí también a su valor a la izquierda, ya que se obtiene B(X).(XI − A) = det(XI − A).I) del polinomio P(X).I para X = A es nula. Este valor sólo es P(A), lo que termina la demostración.
Ver también Polinomio de endomorfismo para otra demostración.
[editar] Ejemplo
Consideremos por ejemplo la matriz
.
El polinomio característico se escribe
El teorema de Cayley-Hamilton afirma que
- A2 − 5A − 2I2 = 0
y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior
- A2 − 5A − 2I2 = 0
- A2 = 5A + 2I2
Así, por ejemplo, para calcular A4, podemos escribir
- A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2
y llegamos a
- A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A
- A4 = 145A2 + 54I2.
Podemos utilizar también la relación polinomial inicial A2 − 5A − 2I2 = 0 para probar la inversibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar una potencia de A donde sea posible y
- A(A − 5I) = 2I2
lo que demuestra que A admite como inverso
