Teorema di Hamilton-Cayley
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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o equivalentemente ogni matrice quadrata è una radice del suo polinomio caratteristico visto come polinomio a coefficienti numerici nell' anello delle trasformazioni lineari o delle matrici quadrate.
Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice.
Il teorema di Cayley–Hamilton vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.
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[modifica] Polinomi, applicazioni e matrici
Un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su un campo K è una trasformazione lineare T:V → V. Gli endomorfismi con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione formano una K-algebra, chiamata EndK(V) o più semplicemente End(V).
Analogamente, le matrici quadrate con n righe a valori in K con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto formano una K-algebra, chiamata M(n, K) o più semplicemente M(n). Se V ha dimensione n, una base B per V trasforma ogni endomorfismo in una matrice, tramite un isomorfismo di algebre
Consideriamo adesso un polinomio p(x) a coefficienti in K. Se a è un qualsiasi elemento di una K-algebra, definiamo l'elemento p(a) dell'algebra come quello ottenuto da a tramite le operazioni prescritte da p (somma, prodotto per scalare e fra elementi dell'algebra). In particolare, se T è un endomomorfismo allora p(T) è un endomomorfismo, e se A è una matrice allora p(A) è una matrice.
[modifica] Il teorema
Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che:
Se f è un endomorfismo di uno spazio vettoriale V a dimensione finita e p(x) è il suo polinomio caratteristico, allora p(f) = 0.
Analogamente, se A è una matrice quadrata e p(x) il suo polinomio caratteristico, allora p(A) = 0.
[modifica] Esempio
Consideriamo per esempio la matrice
Il suo polinomio caratteristico è dato da
Il teorema di Cayley–Hamilton sostiene che:
- A2 − 5A − 2I2 = 0
il che si può facilmente verificare.
[modifica] Applicazioni
[modifica] Diagonalizzabilità
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Per approfondire, vedi la voce polinomio minimo. |
Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice A che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali A2 = In oppure A2 = A, è diagonalizzabile.
[modifica] Potenze di matrici
Il teorema permette di calcolare potenze di matrici più semplicemente che con la moltiplicazione diretta. Ad esempio, usando il risultato precedente:
- A2 − 5A − 2I2 = 0
- A2 = 5A + 2I2.
si può calcolare A4 nel modo seguente:
- A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2
- A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A
- A4 = 145A + 54I2.
[modifica] Dimostrazione
Forniamo una dimostrazione analitica nel caso in cui K sia il campo dei numeri reali o complessi: sia A una matrice quadrata con n righe. Supponiamo inizialmente che A sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi A è simile a D, in altre parole esiste una matrice invertibile M tale che
- A = M − 1DM.
Le matrici D e A hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si spezza come
dove λ1, ..., λn sono gli autovalori di D (con molteplicità), presenti sulla diagonale di D. Qui è facile verificare che p(D) è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che
- p(A) = p(M − 1DM) = M − 1p(D)M = M − 10M = 0.
Abbiamo dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su C formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici n per n in C. La funzione che associa ad una matrice A la matrice p(A) è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.
