カイ二乗分布
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カイ二乗分布（χ2 分布、カイじじょうぶんぷ）は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。
Xi を、平均μi で分散
の正規分布に従う、k 個の独立なランダム変数とすると、統計量
はカイ二乗分布に従う。普通はこれを
と書く。カイ二乗分布はk という1個の母数をもつ。これはXi の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。
カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定などにも利用される。
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[編集] 性質
- カイ二乗分布の確率密度関数は
に対し
、
また
に対しfk(x) = 0 という形をとる。ここで Γ はガンマ関数である。
- 累積分布関数は
（ただしγ(k,z) は不完全ガンマ関数）である。
- Y = (X1 / ν1) / (X2 / ν2) （ただし
と 
はカイ二乗分布に従う独立なランダム変数）とすると、Y˜F(ν1,ν2) 、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。
（自由度2）ならば、X は期待値2の指数分布に従う。
となる。
- カイ二乗分布は再生性を持つ。すなわち、
ならば、
となる。
[編集] 正規分布による近似
として、k が無限大に近づくとX の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている （歪度
、尖度12 / k ）ため、X自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。
は近似的に平均 
、分散1の正規分布に従う（R.A.フィッシャー）。
![\sqrt[3]{X/k}](../../../math/c/c/f/ccfd20697974afc563a4a0c8c9362a38.png)
は近似的に平均 1 − 2 / (9k) 、分散 2 / (9k)の正規分布に従う（ウィルソンとヒルファティ、1931年）。
