Variabile casuale chi quadro

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La variabile casuale Chi Quadrato (χ²) è un caso particolare della v.c. Gamma con a=1/2 e p=g/2 (ove g sono i gradi di libertà), quindi è una variabile casuale assolutamente continua.

Indice

1 Teoria
2 Storia
3 Voci correlate
4 Tabella dei valori critici

[modifica] Teoria

[modifica] Definizione

Nel caso di χ² con un grado di libertà la funzione di densità di probabilità è

$f(x)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}\ x^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{2 \pi}}$ , per x>0

Considerando una variabile casuale normale Z (0;σ²) di media nulla sarà:

X=Z²

Per generalizzare il numero dei gradi di libertà, si considerino n distribuzioni normali Z₁(0;1); Z₂(0;1); ... Z_n(0;1) con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Sarà :

χ²_n= Z₁² + Z₂² + .... +Z_n²

La funzione di densità f(x) per χ²_n (chi quadro con n gradi di libertà) sarà

$f(x)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}\ x^{\frac{n}{2}-1}}{2^{\frac{n}{2}}\ \Gamma{\left(\frac{n}{2}\right)}}$ , per (0 < x < ∞)

Dove Γ() è la funzione Gamma.

Pertanto si ottiene:

valore atteso: μ = g (dove g sono i gradi di libertà)
varianza: σ² = 2g
simmetria: β₁ = 8/g
curtosi: β₂ = 3 + 12/g
moda: ν₀ = g-2 (per n ≥ 3)

Il χ² oltre a essere ricavabile come trasformata di una variabile casuale normale, è anche un caso particolare della distribuzione Gamma. Infatti considerando la variabile casuale Gamma G(1/2 ;g/2) essa è equivalente a un chi quadro con g gradi di libertà (χ²_g).

La variabile aleatoria χ² variabile può essere assunta come misura dello scostamento tra frequenze osservate A₁, A₂, ..., A_k e frequenze teoriche np₁ ; np₂; .... ; np_k , associate a una distribuzione di probabilità ipotizzata per le k modalità (p₁ ; p₂;...; p_k).

[modifica] Teoremi

[modifica] Somma di v.c. chi quadro

Se: X₁, X₂, ..., X_n sono n v.c. χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con g_i gradi di libertà,
allora: la v.c. Y = X₁ + X₂ + ... + X_n è a sua volta una v.c. χ² con g gradi di libertà, ove g = g₁ + g₂ + ... + g_n

[modifica] Il quadrato di una v.c. Normale

Se: Z è una v.c. normale standardizzata N(0,1), e X=Z²
allora: X è una v.c. χ² con 1 grado di libertà. Mentre se la Z avesse valore atteso µ≠0, allora X è distribuita come una variabile casuale chi quadrato non centrale.

[modifica] La v.c. chi quadro come distribuzione di una varianza campionaria

Un ulteriore importante proprietà del χ² è data dal seguente teorema.

Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ;σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria (ovvero _iΣ₁ⁿ(x_i-media)²/(n-1) ) sarà:

(n-1)S²/σ² ~ χ²_n-1

nota: il simbolo ~ si legge si distribuisce come.

[modifica] La radice di una v.c. chi quadro

Se $X$ è distribuita come una variabile casuale chi $X \sim \chi_k(x)$ allora $X 2$ è distribuita come una chi quadro: $X^2 \sim \chi^2_k$

[modifica] La v.c. chi quadro con n molto grande

La v.c. χ² tende ad una Normale N(g,2g). Ciò avviene però molto lentamente. La convergenza può essere accelerata effettuando la trasformazione

z = √(2χ²) - √(2g-1)

[modifica] La v.c. chi quadro come caso particolare della v.c. di Pearson

Una v.c. chi quadro con 2p gradi di libertà corrisponde ad un variabile casuale di Pearson di tipo III con i parametri

a=0, β=2 e p è un mezzo intero.

[modifica] Altri teoremi

teorema di Cochran

[modifica] Valori critici

Trattandosi di infinite variabili casuali (in quanto vengono determinate dai gradi di libertà), si è soliti rappresentare tabelle con valori critici al posto delle tabelle delle funzioni di ripartizione.

La tabella con valori critici che segue alla fine dell'articolo, devono essere letti nel seguente modo:

La probabilità α che non venga superato il valore critico χ²_α,g, nel caso di g gradi di libertà.

Per g>30 si ritiene che i valori critici possano essere rappresentati sufficientemente bene dalla

χ²_α,g = 1/2 ( z_α + √(2g-1) )² dove z_α è il valore critico per la Normale standardizzata N(0;1) (p.es. z_0,95 = 1,645)

[modifica] Storia

Ernst Abbe (1840-1905), un ottico, fu colui che scoprì la χ² analizzando la sommatoria di v.c.Normali standardizzate e indipendenti, che produce una nuova v.c., la χ² appunto.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Tabella dei valori critici