再生性

確率分布の族における再生性（さいせいせい）とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。

[編集] 定義

分布族 $\mathbb{F}$ を考える。

任意の確率分布 $F_1, F_2 \in \mathbb{F}$ に対して、F_iに従う互いに独立な確率変数をX_iとおく ( $i = 1,2$ ) 。これを $X i ˜ F i$ と書く（以下同様）。

このとき、 $X 1 + X 2$ の確率分布Fが $F \in \mathbb{F}$ を満たすならば、分布族 $\mathbb{F}$ は再生性を持つという。

ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み演算について閉じていることを意味する。

以下で用いられる2つの確率変数X₁、X₂は互いに独立であると仮定する。

$X_i \sim \mbox{N}(\mu_i, \ \sigma_i^2) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{N}(\mu_1 + \mu_2, \ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。

$X_i \sim \mbox{Gamma}(k_i, \theta) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{Gamma}(k_1 + k_2, \ \theta)$

尺度母数θが異なる場合は当てはまらない。

特に $k 1, k 2$ が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、 $k 1, k 2$ が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。

$X_i \sim \mbox{B}(n_i, p) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{B}(n_1 + n_2, \ p)$

確率pが異なる場合は当てはまらない。

$X_i \sim \mbox{Po}(\lambda_i) \ (i = 1, 2) \ \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$