Teoria descrittiva degli insiemi

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In matematica, la teoria descrittiva degli insiemi è lo studio di alcune classi di sottoinsiemi regolari dei numeri reali, come i boreliani, gli insiemi analitici e gli insiemi proiettivi.

Lo scopo generico della teoria descrittiva degli insiemi è quello di descrivere, mediante costruzioni esplicite od implicite, tutti i sottoinsiemi interessanti (sia nel senso di utili nelle applicazioni, sia in quello più propriamente matematico di non patologici) dei numeri reali.

Intesa in senso più ampio, la teoria descrittiva degli insiemi studia sottoinsiemi regolari di spazi più generali dei numeri reali; in particolare sono stati ottenuti risultati notevoli nella teoria descrittiva degli spazi polacchi.

I metodi della teoria descrittiva degli insiemi provengono principalmente da un'analisi profonda dei concetti di numero cardinale ed ordinale. Ad esempio si fa ampio uso dell'induzione transfinita.

[modifica] Teoria descrittiva dei numeri reali

La teoria descrittiva dei numeri reali in genere riesce a dare delle caratterizzazioni piuttosto esplicite degli oggetti da essa studiati. Come naturale in questo ambito, presentiamo gli insiemi di numeri reali più comuni in maniera gerarchica:

I sottoinsiemi più semplici dei reali cui possiamo pensare sono gli intervalli.
Da questi, possiamo costruire gli aperti: un insieme è aperto se unione di intervalli. In questo modo abbiamo costruito la topologia euclidea di $\mathbb{R}$ . La famiglia degli aperti contiene la famiglia degli intervalli. Si possono inoltre considerare gli insiemi chiusi, come gli insiemi complementari degli aperti.
Data la topologia euclidea (cioè la famiglia degli aperti) possiamo costruire le famiglie degli insiemi $\mathcal{G}_\delta$ ed $\mathcal{F}_\sigma$ , ossia rispettivamente gli insiemi che sono intersezione numerabile di aperti ed unione numerabile di chiusi. Evidentemente, la famiglia degli insiemi $G δ$ contiene la famiglia degli aperti, e la famiglia degli $F σ$ quella dei chiusi.
Dagli insiemi $G δ$ , o dagli $F σ$ , possiamo generare la σ-algebra boreliana, ossia la più piccola σ-algebra contenente tutti gli aperti^[1].
Dalla σ-algebra boreliana possiamo:
- La σ-algebra di Lebesgue.
- Gli insiemi analitici.
- Gli insiemi proiettivi.

[modifica] Teoria descrittiva di spazi polacchi

Su spazi più generali dei numeri reali, queste costruzioni si possono effettuare in maniera analoga, anche se saranno più complesse. In particolare, è di rilievo l'introduzione della σ-algebra di Baire, ossia la σ-algebra generata dai compatti $G δ$ . Questa in generale sarà meno fine della σ-algebra boreliana (vale a dire, sarà composta da meno elementi); tuttavia nel caso dei numeri reali tali σ-algebre coincidono, e pertanto questa distinzione si perde.

Gli spazi polacchi hanno un interesse particolare nella teoria descrittiva degli insiemi, soprattutto per i seguenti risultati:

Teorema: Teorema di omeomorfismo di spazi polacchi

Ogni spazio polacco è omeomorfo ad un sottoinsieme del cubo di Hilbert equipaggiato con la topologia relativa.

Teorema: Teorema di Kuratowski

Sia $(X,\mathcal{\Tau})$ uno spazio polacco, e $\mathfrak{F}$ la relativa σ-algebra di Borel. Allora, come spazio misurabile, lo spazio boreliano $(X,\mathfrak{F})$ è isomorfo (nel senso della teoria delle categorie) ad uno dei seguenti insiemi:

L'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ , equipaggiato con la usuale algebra di Borel.
L'insieme dei numeri interi, equipaggiato con la σ-algebra dell'insieme della parti (che è semplicemente la σ-algebra di Borel generata dalla topologia discreta).
Un insieme finito, equipaggiato con la σ-algebra dell'insieme della parti (che è semplicemente la σ-algebra di Borel generata dalla topologia discreta).

[modifica] Bibliografia

Kechris, Alexander S.. Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag, 1994. ISBN 0-387-94374-9.

Moschovakis, Yiannis N.. Descriptive Set Theory. North Holland, 1980. ISBN 0-444-70199-0.

[modifica] Note

↑ Mentre in ambito analitico è naturale considerare la σ-algebra boreliana come l'intersezione di tutte le σ-algebre contenenti gli aperti, dal punto di vista della teoria descrittiva degli insiemi essa si costruisce più naturalmente mediante induzione transfinita. Per approfondire, si veda la sezione Costruzione esplicita della σ-algebra di Borel della voce Algebra di Borel, in cui si spiega in dettaglio questa costruzione. Si tenga comunque presente che, come spiegato in tale voce, almeno nel caso di spazi metrizzabili, la nozione analitica e la costruzione descrittiva di σ-algebra boreliana coincidono.

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