Disequazione quadratica

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Una disequazione si dice quadratica se in essa, una volta ridotta in una delle forme seguenti, compaiono termini quadratici, cioè potenze di ordine massimo uguale a 2.

Tutte le disequazioni quadratiche sono riconducibili, tramite le consuete semplificazioni a una forma del tipo:

$ax^2+bx+c<0\;$
$ax^2+bx+c\leq 0\;$
$ax^2+bx+c>0\;$
$ax^2+bx+c\geq 0\;$

con $a>0\;$ . Se $a<0\;$ si cambiano tutti i segni e il verso della disequazione.

Non è sufficiente che in una disequazione compaia un termine di secondo grado per affermare che essa è quadratica: infatti la disequazione $6x^2-3x+4\geq 3x^2+5x+8+3x^2\;$ non è quadratica, in quanto il termine di secondo grado si elide.

A seconda che una disequazione abbia come segno il minore, maggiore, minore o uguale, maggiore o uguale, ha un diverso metodo di risoluzione, che dipende anche dal discriminante dell'equazione associata. L'equazione associata a una disequazione di 2° grado ha la stessa forma della disequazione, soltanto che anziché il termine di disuguaglianza ( $<, \leq, >, \geq\;$ ) compare il segno di uguaglianza.

Esempio: l'equazione associata alla disequazione $6x^2-5x+1\geq 0\;$ non è altro che l'equazione $6x^2-5x+1=0\;$ .

Avendo introdotto l'equazione associata, è possibile calcolare il Delta (discriminante) dell'equazione (pari a $b^2-4ac\;$ , ove $b\;$ è il coefficiente del termine di primo grado, $a\;$ il coefficiente dell'incognita di secondo grado e $c\;$ è il termine noto).

La risoluzione della disequazione passa attraverso lo studio del discriminante dell'equazione associata: ci sono differenti metodi di risoluzione a seconda che esso sia positivo, negativo o nullo.

[modifica] Discriminante positivo

Se $b^2-4ac\;$ è positivo, come si sa dalle equazioni quadratiche, l'equazione associata ha 2 soluzioni distinte $x_1\;$ e $x_2\;$ . Di seguito si supporrà che $x_1<x_2\;$ . Bisogna ora esaminare il segno della disequazione:

se il segno è maggiore, le soluzioni della disequazione sono i valori esterni a $x_1\;$ e $x_2\;$ : $x<x_1 \cup x>x_2\;$ . (Notare che $x_1\;$ e $x_2\;$ sono esclusi).

se il segno è maggiore o uguale si segue lo stesso procedimento al punto precedente, includendo anche i valori $x_1\;$ e $x_2\;$ : in tal modo il risultato della disequazione è $x\leq x_1 \cup x\geq x_2\;$ .

se il segno è minore, le soluzioni della disequazione sono i valori interni a $x_1\;$ e $x_2\;$ . Il risultato della disequazione è quindi $x_1<x<x_2\;$ (con $x_1\;$ e $x_2\;$ non compresi).

se il segno è minore o uguale si segue lo stesso procedimento al punto precedente, includendo anche i valori $x_1\;$ e $x_2\;$ : in tal modo il risultato della disequazione è $x_1\leq x\leq x_2\;$ .

Esempio: $x^2-5x+6\leq 0\;$ .

$\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 6 = 25-24=1\;$ . Il discriminante è quindi positivo; si procede ora col calcolo delle soluzioni dell'equazione associata: $x_1 = 2\;$ , $x_2 = 3\;$ . Dato che il segno della disequazione è minore o uguale, per ottenere le soluzioni della disequazione bisogna prendere i valori interni a 2 e 3, inclusi gli estremi: $2\leq x\leq 3\;$ .

[modifica] Discriminante nullo

Se il discriminante è nullo, significa che l'equazione associata è riconducibile al quadrato di un binomio, in quanto le soluzioni della equazione associata sono due e coincidenti: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\;$ . La disequazione si riconduce quindi in una delle seguenti forme:

$a(x+\frac{b}{2a})^2<0\;$
$a(x+\frac{b}{2a})^2\leq 0\;$
$a(x+\frac{b}{2a})^2>0\;$
$a(x+\frac{b}{2a})^2\geq 0\;$

con $a>0\;$ , quindi trascurabile. Per ognuno dei seguenti casi è sufficiente fare un piccolo ragionamento.

Primo caso: $(x+\frac{b}{2a})^2<0\;$ . La disequazione è evidentemente impossibile, perché un quadrato (nel caso in esame $(x+\frac{b}{2a})^2\;$ ), non può mai essere negativo, ma è sempre positivo o nullo.

Secondo caso: $(x+\frac{b}{2a})^2\leq 0\;$ . Si tratta di porsi la domanda: quando un quadrato è minore o uguale a zero? Minore non lo è mai, tuttavia può essere nullo, cioè quando la base del quadrato si annulla. La base del quadrato si annulla se $x+\frac{b}{2a}=0\;$ , cioè se $x=-\frac{b}{2a}\;$ . Tutte le disequazioni con il segno minore o uguale hanno allora come risultato $x=-\frac{b}{2a}\;$ , con $a, b\;$ i coefficienti della x di secondo e primo grado nell'equazione associata.

Terzo caso: $(x+\frac{b}{2a})^2>0\;$ . Un quadrato è sempre positivo, tranne quando la sua base si annulla. Per far sì che la disequazione sia verificata, bisogna quindi escludere i valori per cui la base si annulla: le soluzioni sono quindi tutte le $x\ne -\frac{b}{2a}\;$ .

Quarto caso: $(x+\frac{b}{2a})^2\geq 0\;$ .

Un quadrato è sempre positivo o nullo, quindi la disequazione è verificata per ogni $x\in \R\;$ .

- Esempi:
  - $x^2-2x+1<0\;$ . $\Delta = 0\;$ , quindi la disequazione è riconducibile nella forma $(x-1)^2<0\;$ . La disequazione non ha soluzioni.
  - $x^2-2x+1\leq 0\;$ . Come nell'esempio precedente, $\Delta = 0\;$ , quindi la disequazione è riconducibile nella forma $(x-1)^2\;\leq 0\;$ . La disequazione ha una sola soluzione, data da $x=1\;$ . (1 è il valore che annulla la base).
  - $x^2-2x+1>0\;$ . Il discriminante è nullo, quindi la disequazione si riconduce alla forma $(x-1)^2>0\;$ , che è verificata per $x\ne 1\;$ .
  - $x^2-2x+1\geq 0\;$ è sempre verificata.

[modifica] Discriminante negativo

Il caso di discriminante negativo è il più semplice da trattare. L'equazione associata, come si sa, in caso di discriminante negativo non ha soluzioni. Bisogna ancora una volta ricondursi al segno della disequazione:

se è minore o minore o uguale, la disequazione non è mai soddisfatta: non ha soluzioni.
se è maggiore o maggiore o uguale, la disequazione è sempre soddisfatta: le soluzioni sono tutti i numeri reali.

Esempi:

$x^2+3x+7\leq 0\;$ ha $\Delta = -19\;$ . La disequazione non ha soluzioni: lo si può constatare sostituendo un qualsiasi numero al posto di $x\;$ . Il numero ottenuto non sarà mai minore o uguale a 0.
$2x^2+x+9>0\;$ ha $\Delta = -71\;$ . La disequazione è soddisfatta per qualsiasi $x\;$ . Ce ne si può accertare sostituendo al posto dell'incognita qualsiasi valore si voglia: il risultato è sempre positivo.