Disequazione irrazionale

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Una disequazione irrazionale è una disuguaglianza in cui compare l'incognita sotto radice, come $\sqrt{f(x)}\geq g(x)\;$ . Vi sono vari tipi di disequazioni irrazionali :

disequazione con radice di indice pari.
disequazione con radice di indice dispari.

[modifica] Disequazioni con radice di indice pari

Bisogna distinguere quando la radice quadrata di $f(x)\;$ è maggiore o maggiore uguale a $g(x)\;$ e quando la radice quadrata di $f(x)\;$ è minore o minore uguale a $g(x)\;$ . Nel caso in cui la radice quadrata di $f(x)\;$ è maggiore o maggiore uguale a $g(x)\;$ dobbiamo risolvere due sistemi di disequazioni composti ciascun sistema da due disequazioni. Nel primo sistema di disequazioni troviamo che nella prima disequazione il radicando della radice quadrata di $f(x)\;$ sia maggiore uguale a 0, mentre nella seconda disequazione $g(x)\;$ è minore di 0. Nel secondo sistema di disequazioni troviamo che nella prima disequazione $g(x)\;$ è maggiore uguale di 0 mentre nella seconda disequazione troviamo che il quadrato della radice quadrata di $f(x)\;$ è maggiore al quadrato della $g(x)\;$ .

$\left\{ \begin{matrix}f(x)\geq 0 \\ g(x) < 0 \end{matrix} \right.$ $\cup\;$ $\left\{ \begin{matrix}g(x)\geq 0 \\ f(x) > g^2(x) \end{matrix} \right.$

Esempio per la disequazione $\sqrt{x+1} > x+2\;$

$\left\{ \begin{matrix}x+1\geq 0 > 0 \\ x+2 < 0 \end{matrix} \right.$ $\cup\;$ $\left\{ \begin{matrix}x+2\geq 0 \\ x+1>(x+2)^2 \end{matrix} \right.$

Nel caso in cui la raice quadrata di $f(x)\;$ è minore o minore uguale a $g(x)\;$ dobbiamo risolvere un unico sistema di tre disequazioni in cui: $g(x)\;$ sia maggiore di 0, $f(x)\;$ sia maggiore uguale di 0, il quadrato della radice di $f(x)\;$ è minore del quadrato di $g(x)\;$ .

$\left\{ \begin{matrix}g(x) > 0 \\ f(x)\geq 0 \\ f(x) < g^2(x) \end{matrix} \right.$

Esempio per la disequazione $\sqrt{6x-1} < x+3\;$

$\left\{ \begin{matrix}x+3 > 0 \\ 6x-1\geq 0 \\ 6x-1 < (x+3)^2 \end{matrix} \right.$

[modifica] Disequazioni con radice di indice dispari

Una disequazione irrazionale con radice di indice dispari non necessita di una discussione come per quelle di indice pari, infatti una radice cubica o di qualunque altro indice dispari ammette come radicando qualsiasi numero (positivo, negativo o nullo). Basta quindi, per risolvere la disequazione, elevare entrambi i membri a un'opportuna potenza che consenta di eliminare ogni radice.

Esempio: $\sqrt[3]{x+1}<x+7\;$