Penrose-féle csempézés
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Nemperiodikus csempézés alatt a síknak véges sokféle csempével (síkidommal) való, átfedés- és hézagmentes lefedését értjük úgy, hogy nincs olyan része a síknak, aminek ismételt eltolásával a végtelen sík mintázata megkapható lenne (azaz nincs két, a síkon értelmezett, nem párhuzamos eltolási szimmetria). Azokat a csempehalmazokat, amikkel nemperiodikusan lehet csempézni a síkot, de periodikusan nem, aperiodikusnak nevezzük.
A Penrose-féle csempézés az aperiodikus csempehalmazok (illetve az azokkal való csempézések) egy olyan csoportja, amit Roger Penrose (és tőle függetlenül Robert Ammann) fedezett fel.
Penrose először 1973-ban talált egy 6 csempéből álló aperiodikus csempehalmazt. Ez akkoriban nagy előlrelépés volt, hiszen az első csempehalmaz, ami bizonyítottan aperiodikus volt, azt Berger 1966-ban találta, és 20426 csempéből állt. Ezek a csempék négyzetek voltak, melyeknek az oldalait olyasformán változtatták meg, hogy a periodicitást elkerüljék. Később sikerült lecsökkentenie a csempék számát 104-re, majd 92-re. Raphael M. Robinson 1971-ben egy 6 csempéből álló halmazt talált. Ez is hat módosított négyzetet tartalmazott. Penrose 6 csempéje szabályos hatszögekből állt, és csillag-szerű alakzatokból, ezzel megtörte a négyzetek egyeduralmát és azt a sejtést is megdöntötte, miszerint csak módosított négyzetekkel lehet nem-periodikusan lefedni a síkot.
Penrose ezután még sokat foglalkozott a csempékkel, és még két, egyenkét két-két csempéből álló aperiodikus halmazt talált.
Az egyik ilyen csempehalmaz két rombuszt tartalmaz:
- A kövér rombusz-nak {72, 72, 108, 108}-fokosak a szögeik
- A sovány rombusznak-nak {36, 36, 144, 144}-fokosak a szögeik.
A csempéket egy egyszerű szabály szerint illesztjük egymáshoz: a két rombusz nem alkothat soha paralelogrammát. Könnyítésként megjelölhetjük az oldalakat, hogy tudjuk, hogy melyik oldalhoz melyiket illeszthetjük. Használhatunk erre a célra színeket, vagy megfelelő módon megváltoztathatjuk a rombuszok oldalait, hogy azokat csak úgy lehessen összeérinteni, hogy a kapott csempézés ne legyen periodikus.
A másik ismert, két csempéből álló halmaz két deltoidot tartalmaz:.
- Egy konvexet, amit sárkány-nak és
- egy konkávat, amit dárdá-nak hívunk.
A deltoidok rövidebb oldala 1, a hosszabb pedig 
, amit szokás arany-számnak is hívni, hiszen az aranymetszésnél a megfelelő két hossz aránya is ez a szám. Egyébként az arany-szám sok helyen előbukkan a csempézés tulajdonságai között:
- A sárkányok τ-szor annyian vannak, mint a dárdák.
- A területek aránya is τ-szoros.
- A csempézés nem-periodikusságának egyik bizonyításában is döntő szerepe van, hiszen a τ egy irracionális szám.
[szerkesztés] Kvázikristályok
Bár először csak mint érdekes matematikai játék és struktúra jelent meg a Penrose-féle nem-periodikus csempézés, 1984-ben felfedeztek egy ötvözetet, az Al6Mn-t, aminek szerkezete a Penrose-féle csempézés térbeli változata. Így a csempézés tulajdonságainak vizsgálata elősegítette az ötvözet tulajdonságainak megértését. Egyébként ez az ötvözet külsőleg mint kristály viselkedett, de megdöntötte a szilárdtestfizika alapfeltevését, miszerint egy kristály szerkezete 2-es,3-as,4-es vagy 6-os forgásszimmetriát mutathat. Ezért kvázikristálynak nevezik.
[szerkesztés] Források
- Penrose, Roger. (1989) The Emperor's New Mind. (ISBN 0-198-51973-7)
- magyarul: Roger Penrose: A császár új elméje, Akadémiai Kiadó, 1993
- Csonka Dorottya (2004. november (XII.évf./5.szám)) A nem periodikus Penrose-csempézés. Matematika Tanítása (MS-9101)
Based on work by 