Tassellatura di Penrose
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Una tassellatura di Penrose è uno schema di tasselli che coprono una superficie infinita in modo aperiodico. È stata scoperta da Roger Penrose e Robert Ammann nel 1974.
Esistono più insiemi possibili di tasselli di Penrose. Uno dei più utilizzati è composto da due tasselli, ognuno ha quattro lati di lunghezza unitaria. Entrambi sono legati alla sezione aurea.
- Un tassello ha due angoli di 72° e due di 108°.
- L'altro tassello ha due angoli di 36° e due di 144°.
In altre parole gli angoli sono tutti multipli di un decimo di angolo giro (360°), secondo i rapporti {2,2,3,3} e {1,1,4,4}.
La coppia di tasselli può essere costruita a partire da un rombo avente angoli acuti di 72° ed angoli ottusi di 108°, si riporta uno dei lati sulla diagonale maggiore ed in questo modo si ottengono due segmenti che stanno tra loro in rapporto aureo. Unendo questo punto sulla diagonale con i vertici degli angoli ottusi, si ottengono i due tasselli voluti, chiamati dardo ed aquilone.
I tasselli devono essere uniti rispettando un'unica regola: nessuna coppia di tasselli dev'essere unita in modo che formi un singolo parallelogramma. I tasselli possono essere modificati con rientranze e denti in modo da forzare l'applicazione della regola ma la tassellatura ha un aspetto migliore se i tasselli hanno i lati lisci.
Data questa regola esiste una quantità non numerabile di modi per tassellare un piano infinito senza lasciare intervalli o buchi. Le immagini mostrano tassellature che rivelano una simmetria rotazionale a cinque movimenti, e cinque simmetrie assiali rispetto a cinque assi passanti per il centro. Però non esiste simmetria traslazionale: questo significa che le tassellature sono aperiodiche, lo schema non si ripete mai nello stesso modo. Comunque, data una regione di schema, per quanto sia grande, questa sarà ripetuta un numero infinito di volte nella tassellatura (e, in realtà, in ogni tassellatura di Penrose).
Il fatto che sia possibile coprire il piano in modo non periodico da una tassellatura fu dimostrato, come proposizione generale, nel 1966 da Robert Berger, che poco dopo fornì il primo insieme di tasselli, formato da 20426 elementi distinti. Il numero di elementi di un insieme di tasselli che consentono una tassellatura aperiodica del piano fu poi ridotto da altri, raggiungendo il minimo di due, i tasselli di Penrose. Non si sa se esista un'unica forma in grado di tassellare il piano in modo non periodico ma non in grado di tassellarlo in modo periodico.
Le tassellature non periodiche vennero considerate, inizialmente, soltanto come strutture matematiche interessanti, ma si è scoperto in seguito che la disposizione degli atomi in alcuni materiali segue lo stesso schema di una tassellatura di Penrose. Questo schema non è periodico (non si ripete esattamente) ma è quasiperiodico, per questo motivo i materiali con questa caratteristica sono stati denominati quasicristalli.
Recentemente è stato dimostrato che una tassellatura di Penrose è colorabile con tre colori.
[modifica] Come disegnare i tasselli di Penrose
I tasselli di Penrose possono essere disegnata utilizzando il seguente L-system:
variables: 1 6 7 8 9 [ ] constants: + -; start: [7]++[7]++[7]++[7]++[7] rules: 6 → 81++91----71[-81----61]++ 7 → +81--91[---61--71]+ 8 → -61++71[+++81++91]- 9 → --81++++61[+91++++71]--71 1 → (eliminated at each iteration) angle: 36º
In questo sistema 1 significa "disegna in avanti", + significa "ruota a sinistra di un angolo", e - significa "ruota a destra di un angolo" (si veda la voce logo). Il simbolo [ significa che il sistema salva la posizione attuale per potervi ritornare quandi si incontra il simbolo corrispondente ]. I simboli 6, 7, 8 e 9 non corrispondono ad alcuna azione; sono presenti solo per poter produrre la corretta evoluzione della curva.
Evoluzione dell'L-system per n = 1, n = 2, n = 3.
[modifica] Bibliografia
- Roger Penrose (1989) La nuova mente dell'imperatore. ISBN 8817865524
- (EN) Roger Penrose "Set of tiles for covering a surface," brevetto 4133152 assegnato il 9 gennaio 1979
- (EN) Martin Gardner, "Penrose Tiles", capitolo 7 del libro The Colossal Book of Mathematics (ISBN 0-393-02023-1)
[modifica] Collegamenti esterni
- (EN) Un programma per Microsoft Windows che permette di esplorare e generare la tassellatura di Penrose. Il programma è stato scritto da Stephen Collins di JKS Software, in collaborazione con le Università di York in Inghilterra e Tsuka in Giappone.
- (EN) Istruzioni per costruire i tasselli di Penrose
