פונקציית דלתא של דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציית הדלתא של דיראק. הגרף מציג ציור סכמתי שלה, כאשר את החץ יש להבין כקו בגובה אינסוף.
מתחת לאיור מרוכזות הזהויות החשובות והשימושיות של פונקציה זו.

פונקציית הדלתא של דיראק $\ \delta (x)$ היא התפלגות רציפה, שבאופן אינטואיטיבי ניתן לתארה כמקבלת את הערך אינסוף בנקודה מסוימת (x=0) ובכל השאר הנקודות כמקבלת את הערך אפס, כך שהשטח מתחת לעקומה (כלומר: האינטגרל שלה על כל הישר הממשי) שווה לאחד (1). במובן מסוים, זוהי הכללה של הדלתא של קרונקר. למרות שקוראים לה "פונקציית דלתא", מבחינה פורמלית היא איננה פונקציה אמיתית, אך אפשר לממשה באמצעים אחרים.

פונקציית הדלתא הומצאה על ידי הפיזיקאי פול דיראק והיא נמצאת בעיקר בשימוש פיזיקאים ומהנדסים ופחות בשימוש המתמטיקאים.

תוכן עניינים

1 מבוא פורמלי
2 תכונות
3 הגדרת פונקציית הדלתא כגבול של סדרת פונקציות
4 שימושים
5 ראו עוד

[עריכה] מבוא פורמלי

[עריכה] ההגדרה השימושית

לרוב, פונקציית הדלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)$

לכל פונקציה רציפה f.

באופן כללי יותר אפשר לרשום:

$\forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x-x_0) \, dx = f(x_0)$

בפועל, אין פונקציה אמיתית שמקיימת תכונה זו אך אפשר לממשה באמצעות ייצורים מתמטיים אחרים: הפונקציונל, המידה וההתפלגות.

[עריכה] מימושים יותר ריגורוזיים לפונקציית דלתא

כהתפלגות, פונקציית הדלתא היא הצפיפות של התפלגות מצטברת שמקבלת 1 אחרי ערך מסוים ו 0 לפניו.

: $H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & x < 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix}\right.$

להתפלגות מצטברת כזאת קוראים פונקציית הביסייד (פונקציית מדרגה) ובאופן אינטואיטיבי אפשר לומר שפונקציית הדלתא היא ה"נגזרת" שלה (כולל בנקודת אי-הרציפות),

$\ d H(x) = \delta (x) \ dx$

שכן עבור ערכים שונים מ 0 פונקציית הביסייד קבועה, ולכן נגזרתה אפס.
אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה, כלומר: "שיפוע" אינסופי בנקודה.
תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית הדלתא ואחת הדרכים לממש אותה היא לקחת בגבול הפרש של שתי פונקציות הביסייד.

כפונקציונל, אפשר להגדיר את פונקציונל הדלתא באופן הבא

$\ \forall \ \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ : \ \delta[\phi] = \phi(0)\,$

זהו פונקציונל לגיטימי אם כי איננו חסום (ורציף) בנורמת $\ L_2$ . יתרה מכך, הוא לא מוגדר היטב במרחב $\ L_2$ (זהו מרחב שבו פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס) מאחר שלפי משפט ההצגה של ריץ אפשר לרשום כל פונקציונל לינארי חסום כמכפלה פנימית (ובמרחב פונקציות כאינטגרל) רושמים גם את פונקציונל זה כאינטגרל (כמו במשוואה העליונה) למרות שזה לא נכון. יש לזכור שהרישום כאינטגרל הוא רק סימון נוח.

אפשר גם להתייחס לפונקציית הדלתא כאל מידה באופן הבא:

$δ(A) = 1$ אם $0\in A$ .
$δ(A) = 0$ אחרת.

אז אפשר לרשום אינטגרל לבג ולקבל

$\forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, d\delta(\{ x \}) = f(0)$

רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון

$\forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dH(x) = f(0)$

כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של אנליזה פונקציונלית ואינטגרלים ספקטרליים.

[עריכה] הערה

לרוב הצרכים המעשיים, ההגדרה השימושית הנתונה בשתי המשוואות העליונות מספיקה.

[עריכה] תכונות

תכונת הנרמול: $\int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx} = 1$ .
פונקציית הדלתא היא פונקציה סימטרית ביחס לשפיץ שלה.
מתקיים ש $\ \delta(ax) = \frac{\delta (x)}{|a|}$
באופן כללי יותר

$\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}$

שבצורה אינטגרלית אפשר לרשום כ

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}$
עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית הדלתא באמצעות אינטגרציה בחלקים ולקבל ש : $\delta'[\phi] = -\phi'(0)\,$ .
מכאן נובע ש : $\delta'(x)=-\frac{\delta(x)}{x}$ .
כמו כן : $\delta^{(n)}[\phi] = (-1)^n \phi^{(n)}(0)\,$ .
בהתמרת פורייה מתקיים ש : $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}\,dx=\delta(k)$ .

[עריכה] הגדרת פונקציית הדלתא כגבול של סדרת פונקציות

את פונקציית הדלתא אפשר לממש גם כגבול של סדרת פונקציות, המתכנסות אל פונקציית הדלתא. באופן אינטואיטיבי, מדובר בסדרה של פונקציות ששואפות לצורת השפיץ: כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה.

באופן פורמלי, סדרת פונקציות $\ \left\{ \delta_n (x) \right\}_{n=1}^{\infty}$ תקרא "סדרת דלתא" אם:

$\ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta_n (x) dx} = 1$ , דרישה זאת קובעת שלכל הפונקציות בסדרה יש משקל (שטח מתחת לעקומה) של 1.
לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ N_0$ מספיק גדול כך ש $\ \forall n > N_0 \ : \ \forall |x| \ge \varepsilon \ : \ \delta_n (x) = 0$ .

לדוגמה: נסתכל בסדרה הבאה:

: $\delta_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & |x| > \frac{1}{2n} \\ n & : & |x| < \frac{1}{2n} \end{matrix}\right.$

למעשה, זוהי סדרה של מלבנים או פונקציות אינדקטור על הקטע $\ \left[-1/(2n) , +1/(2n) \right]$ מורמות לגובה n. נראה שזוהי סדרת דלתא:

משקל: כל מלבן הוא ברוחב $\ 1/n$ ובגובה n ולכן המשקל שלו שווה ל 1 לכל n.
קל גם לראות שסדרה זו מקיימת גם את הדרישה השנייה.

לכן זוהי סידרת דלתא שמתכנסת נקודתית לפונקציית הדלתא של דיראק. בשרטוט לעיל אפשר לראות המחשה של סדרה זו וכיצד היא נהפכת לשפיץ צר וגבוה.

[עריכה] שימושים

בפיזיקה, פונקציית הדלתא היא התיאור המתמטי (פונקציית ההתפלגות) של מטען חשמלי נקודתי או מסה נקודתית.
בהנדסת חשמל ועיבוד אותות, פונקציית הדלתא היא קירוב לתגובה "impulse" מיידית ונקודתית להפרעה.
במכניקת הקוונטים (בייחוד בסימון דיראק) משתמשים לעיתים בפונקציות הדלתא כבסיס למרחב המקום או התנע (תלוי באיזה הצגה עובדים). הפונקציה הדואלית לפונקציית הדלתא היא גל טהור: $\ e^{ipx/\hbar}$ .
במתמטיקה, פונקציית הדלתא משמשת לביצוע מניפולציות של התמרת פורייה.