Delta di Dirac

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La delta di Dirac, o impulso di Dirac, introdotta da Paul Dirac, è una funzione generalizzata la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della teoria delle distribuzioni. La funzione delta è una funzione nulla nei punti diversi dallo zero utilizzata per rappresentare approssimativamente fenomeni come i picchi alti e stretti di alcune funzioni o le loro discontinuità: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la carica puntiforme, la massa puntiforme, l'elettrone puntiforme.

Grafico della delta di Dirac

Indice

1 La definizione di Dirac
- 1.1 Precedenti definizioni della delta di Dirac
2 Definizione rigorosa
3 Proprietà e operazioni della delta di Dirac
4 Ulteriori definizioni
5 Significato fisico
6 Voci correlate

[modifica] La definizione di Dirac

Formalmente la delta di Dirac viene definita dalla seguente notazione:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x) \operatorname \phi (x) \operatorname d x = \operatorname \phi (0)$

valida per ogni funzione continua in un intorno dello zero. Questa definizione fu introdotta per la prima volta da Dirac alla fine degli anni 20 nelle sue ricerche sulla meccanica quantistica. Si noti che, pur utilizzando il simbolo dell'integrale, l'operazione non è di integrazione, ma di applicazione di un funzionale ( $δ$ appunto) ad una funzione test $φ$ . La delta di Dirac è dunque la funzione generalizzata (definita con la simbologia di cui sopra) che trasforma la funzione test $φ(t)$ nel numero $φ(0)$ .

Nonostante sia facilmente dimostrabile che non può esistere alcuna funzione con le proprietà della delta di Dirac, questa definizione si rivelò operativamente molto utile e fu presto adottata in molti ambiti della fisica e delle scienze applicate. Anche per Dirac era chiaro che la delta non era una funzione nel senso usuale; la sua idea era che il valore della delta nel punto 0 fosse un infinito di grado "abbastanza elevato" da permettere la proprietà definitoria. Una formalizzazione matematicamente corretta della delta fu possibile solo molti anni dopo nell'ambito della teoria delle distribuzioni.

[modifica] Precedenti definizioni della delta di Dirac

Prima ancora della definizione formale, i matematici del passato avevano la necessità di definire una funzione di tipo impulsivo, che rappresentasse cioè un fenomeno fisico di durata infinitesima. Furono quindi date due prime definizioni:

$δ(t)$ è una funzione nulla per $t \ne 0$ , con integrale pari a 1
$δ(t)$ è il limite di opportune successioni, come $n Π(n t)$

[modifica] Definizione rigorosa

Formalmente, la delta di Dirac può essere definita come una distribuzione, vale a dire un funzionale lineare continuo su un opportuno spazio di funzioni.

Chiamiamo D lo spazio di funzioni considerato: presa una funzione f ∈ D, l'azione della delta è data da

$\langle \delta | f \rangle = f(0)$

Dalla definizione si evince che la delta può agire su qualunque funzione che abbia un ben definito valore nel punto 0, quindi D può essere un qualsiasi spazio i cui elementi soddisfino questa proprietà.

È facile convincersi che la delta non è una distribuzione regolare, cioè che non può esistere una funzione δ(x) tale che

$\int \delta (x) f(x) \operatorname {d} x = \langle \delta | f \rangle$

tuttavia, principalmente per comodità, la notazione integrale è largamente utilizzata.

[modifica] Proprietà e operazioni della delta di Dirac

Diamo di seguito la definizione delle proprietà principali della Delta e delle operazioni che possiamo effettuare su di essa

[modifica] Prodotto per uno scalare

Per definizione di distribuzione si ha

$\int_{-\infty}^{+\infty} a\delta (t) \operatorname \phi (t) \operatorname d t = a\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) \operatorname \phi (t) \operatorname d t$

[modifica] Traslazione

Dalla definizione di distribuzione

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t-t_0) \operatorname \phi (t) \operatorname d t = \operatorname \phi (t_0)$

[modifica] Riscalamento (e riflessione)

Dalla definizione della delta

$\delta (at) = {1 \over |a|} \delta (t)$

Diamone la dimostrazione

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (at) \operatorname \phi (t) \operatorname d t = {1 \over |a|} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) \operatorname \phi ({t \over a}) \operatorname d t = {1 \over |a|} \operatorname \phi (0) = \int_{-\infty}^{+\infty} {1 \over |a|} \delta (t) \operatorname \phi (t) \operatorname d t$

Il primo passaggio è lecito se si considerano separatamente $a > 0$ e $a < 0$ , e trovando che il risultato è definito a meno del segno $-$ .

Segue come caso particolare la prossima proprietà:

[modifica] Parità

Vista come una funzione, delta è pari in quanto

$\operatorname \delta(t) = \operatorname \delta(-t)$

[modifica] Prodotto per una funzione

Data una funzione $\operatorname \alpha (t)$ di classe $C^\infty$ , si ha

$\operatorname \alpha (t) \operatorname \delta (t-t_0) = \operatorname \alpha (t_0) \operatorname \delta (t-t_0)$

Diamone la dimostrazione

$\int_{-\infty}^{+\infty} (\alpha (t) \delta (t-t_0)) \operatorname \phi (t) \operatorname d t = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t-t_0) (\alpha (t) \operatorname \phi (t)) \operatorname d t = \operatorname \alpha (t_0) \operatorname \phi (t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} (\alpha (t_0) \delta (t-t_0)) \operatorname \phi (t) \operatorname d t =$

[modifica] Derivata del gradino

La funzione delta è la derivata della funzione gradino $\operatorname u (t)$ (a volte indicata, con abuso di notazione, $\operatorname 1 (t)$ ).

Diamone la dimostrazione eseguendo una integrazione per parti, e applicando quindi le proprietà degli integrali e del gradino

$\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname u' (t) \operatorname \phi (t) \operatorname d t = \operatorname - \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname u (t) \operatorname \phi' (t) \operatorname d t = \operatorname - \int_{0}^{+\infty} \operatorname \phi' (t) \operatorname d t = \operatorname -[\operatorname \phi (t)]_0^\infty = \operatorname \phi (0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \delta (t) \operatorname \phi (t) \operatorname d t$

Tale definizione è il punto di partenza per calcolare la derivata distribuzionale di una funzione, ossia la sua derivata nel senso delle distribuzioni. Tale calcolo si effettua addizionando alla derivata ordinaria della funzione gli impulsi concentrati nei punti di discontinuità della funzione, con area pari al salto della funzione nei punti stessi. Tale approccio è fondamentale nello studio dei segnali.

Possiamo effettuare la dimostrazione inversa, ossia dimostrare che $\operatorname u (t)$ è primitiva di $\operatorname \delta (t)$ osservando che

$\int_{a}^{b} \operatorname \delta (t) = \left\{\begin{matrix} 1, \mbox{se } a < 0 < b \\ 0 \notin [a,b] \end{matrix}\right.$

Dalle proprietà dell'integrale di Riemann sappiamo che

$\int_{a}^{b} \operatorname f' (t) = [\operatorname f (t)]_b^a = \operatorname f (b) - \operatorname f (a)$

L'unica funzione che soddisfa tale vincolo è il gradino.

[modifica] Convoluzione

Il prodotto di convoluzione di una funzione per la delta è uguale a

$\operatorname x (t) * \operatorname \delta (t) = \operatorname x (t)$

$\operatorname x (t) * \operatorname \delta (t-t_0) = \operatorname x (t-t_0)$

[modifica] Trasformata di Fourier

La Trasformata di Fourier della delta è la funzione costante pari a 1.

Diamone la dimostrazione a partire dalla definizione di trasformata di Fourier delle distribuzioni

$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathfrak {F} [\operatorname \delta] \operatorname \phi (\omega) d \omega = \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \delta (\omega) \mathfrak {F} [\operatorname \phi (\omega)] d \omega = \mathfrak {F} [\operatorname \phi]_{(0)} = [\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \phi (t) e^{-j \omega t} dt]_{\omega = 0} = \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \phi (t) dt$

[modifica] Derivate della delta

La derivata della delta di Dirac si ottiene in modo simbolico utilizzando ancora una volta l'integrale con una funzione di prova, e integrando per parti:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta (t) \phi (t) \mathrm{d} t = \left. \delta (t) \phi (t) \right|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi (t)$

Il termine finito va a zero sfruttando il fatto che la delta di Dirac è una funzione nulla al di fuori dell' origine. Dalla relazione scritta qui sopra si ottiene l'uguaglianza simbolica:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta (t) = - \delta(t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} .$

La relazione si può generalizzare alle derivate successive, iterando l'espressione per la derivata prima della delta:

$\delta^{(m)}(t) = (-1)^{m} \, \delta(t) \frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}t^{m}} .$

[modifica] Ulteriori definizioni

La funzione delta può essere considerata come il limite di alcune particolari successioni

${\operatorname \delta_n(x)} \to \operatorname \delta (x),$

ossia che la successione degli integrali tenda a $f (0)$

${\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname \delta_n(x) \operatorname f(x)dx} \to \operatorname f(0) \$

per tutte le funzioni continue $f$ . La successione ${\operatorname \delta_n}$ si dice allora successione di approssimanti della ${\operatorname \delta}$ .

È da tener presente che si tratta di convergenza debole nel senso della teoria delle distribuzioni, cioè valida in senso ordinario solo per la successione degli integrali. Di fatto molte delle successioni di approssimanti non sono convergenti in senso ordinario.

Ecco alcune tra le successioni:

$\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}$	Limite diuna distribuzione normale
$\delta_a(x) = \frac{1}{\pi} \frac{a}{a^2 + x^2} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x-\|ak\|}\;dk$	Limite di una distribuzione di Cauchy
$\delta_a(x)=\frac{e^{-\|x/a\|}}{2a} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ikx}}{1+a^2k^2}\,dk$	$\varphi$ di Cauchy (vedi nota)
$\delta_a(x)= \frac{\textrm{rect}(x/a)}{a} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \textrm{sinc} \left( \frac{a k}{2 \pi} \right) e^{ikx}\,dk$	Limite di una funzione regolare
$\delta_a(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{a}\right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-1/a}^{1/a} \cos (k x)\;dk$	Funzione rettangolare $\varphi$ (vedi nota)
$\delta_a(x)=\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x/a}} =-\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x/a}}$	Derivata della sigmoide (o Statistica di Fermi-Dirac)
$\delta_a(x)=\frac{a}{\pi x^2}\sin^2\left(\frac{x}{a}\right)$
$\delta_a(x) = \frac{1}{a}A_i\left(\frac{x}{a}\right)$	Limite della funzione di Airy
$\delta_a(x) = \frac{1}{a}J_{1/a} \left(\frac{x+1}{a}\right)$	Limite della funzione di Bessel

Nota: se $δ(n, x)$ è una distribuzione di probabilità su tutto l'asse reale (es. non è negativa tra $-\infty$ e $+\infty$ ), allora un'altra $δ φ (n, x)$ può essere costruita sulla sua funzione caratteristica come segue:

$\delta_\varphi(a,x)=\frac{1}{2\pi}~\frac{\varphi(1/a,x)}{\delta(1/a,0)}$

dove

$\varphi(a,k)=\int_{-\infty}^\infty \delta(a,x)e^{-ikx}\,dx$

è la funzione caratteristica di $δ(n, x)$ . Questo risultato è collegato alla proprietà di località della Trasformata continua di Fourier.

È possibile dare un criterio generale per le approssimanti della delta:

una successione di funzioni ${\operatorname \delta_n}$ localmente integrabili reali convergono (in senso debole) alla delta, se

1) $\forall \epsilon > 0$ , le successioni

$\int^{-a}_{-\infty}\delta_n(x)dx$

$\int^{\infty}_{a}\delta_n(x)dx$ convergono uniformemente a 0 $\forall a \in [\epsilon, {+\infty}]$

2) $\lim_{n \to \infty} \, \int^{+\infty}_{-\infty}\delta_n(x)dx = 1$

3) $| \int^{a}_{-\infty}\delta_n(x)dx | < K$ $\forall n \in \mathbb{N}$ , dove K è un numero reale positivo indipendente da n.

[modifica] Significato fisico

La funzione delta può essere pensata come la densità di un punto. Consideriamo, ad esempio, un corpo con massa M finita, esteso in una certa regione V dello spazio tridimensionale. Possiamo associare ad ogni punto x dello spazio una quantità f(x) che rappresenti la densità del corpo. La funzione f sarà nulla al di fuori della regione V e, all'interno, assumerà valori tali che l'integrale

$\int_V f(x) \operatorname {d} x$

converga ad M. Essendo f(x) = 0 al di fuori di D l'integrale può essere esteso a tutto lo spazio e si può quindi scrivere:

$\int f(x) \operatorname {d} x = M$

Ora, se immaginiamo di restringere la regione V senza variare la massa del corpo, la densità di questo dovrà conseguentemente aumentare e tenderà all'infinito al tendere di V al singolo punto: vogliamo, quindi, trovare un'espressione come densità limite per la densità del corpo puntiforme.

Per semplicità consideriamo un corpo con densità costante e a una regione V sferica con raggio R; il volume di V sarà

$\frac {4}{3} \pi R^3$

e la corrispondente densità

$f_R (x) = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3}$

e in questo modo

$\int f_R (x)dx = M, \forall R$

Se si considera il limite

$f(x) = \lim_{R \to 0}f_R (x)$

avverrà che $f (x) =$ ∞ per $x = 0$ , $f (x) = 0$ per x≠0, da cui

$\int f(x) \operatorname {d}x = 0$

e questo vuol dire che f(x) non è assimilabile alla densità di un punto di massa M.

Consideriamo allora un diverso tipo di limite per le densità f_R: il cosiddetto limite debole. Con pochi calcoli si nota che per ogni funzione continua h

$\lim _{R \to 0} \int f_R (x) h(x) \operatorname {d} x = M h(0)$ .

Questa formula mostra che il limite debole della successione f_R, è il funzionale che associa alla funzione h il valore M h(0), questo limite, che indichiamo simbolicamente M δ(x), è la densità cercata; infatti, posto h(x)=1, abbiamo

$\int M \delta (x) = \lim_{R \to 0} \int f_R (x) \operatorname {d} x = M$

dove il primo integrale è un'espressione simbolica con cui si sottointende il passaggio al limite.

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../d/e/l/Delta_di_Dirac_98e5.html"

Categorie: Fisica matematica | Analisi funzionale | Teoria dei segnali | Teoria delle distribuzioni | Matematica per la chimica

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