Transformée de Fourier discrète

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La transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil mathématique de traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformée de Fourier.

Sa définition mathématique pour un signal s de N échantillons est la suivante :

$S(k) = \sum_{n=0}^{N-1}s(n).e^{-2 i \pi k \frac{n}{N}}$

La transformée inverse est :

$s(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}S(k).e^{2 i \pi n \frac{k}{N}}$

On obtient ainsi un signal discret renseignant sur le contenu fréquentiel du signal s(n), correspondant au spectre échantillonné.

Il est à noter que ces définitions ne sont pas uniques : on peut tout à fait normer la TFD par 1/N, et ne pas normer la TFD inverse, ou encore normer les deux par $\frac{1}{\sqrt{N}}$ , le but étant dans tous les cas de retrouver le signal originel par la TFD inverse de sa TFD.

Sommaire

1 Fréquence d'échantillonnage et interpolation
2 Signaux réels
3 Applications
4 Quelques TFD de signaux classiques
5 Références
6 Voir aussi

[modifier] Fréquence d'échantillonnage et interpolation

On peut remarquer que ce signal est périodique de période N, et renseigne sur les fréquences comprises entre 0 et F_e/2, F_e étant la fréquence d'échantillonnage. On n'a donc que N points pour décrire le spectre, et il peut être intéressant d'augmenter ce nombre de points — on fait une interpolation — afin d'augmenter sa résolution et donc, par exemple, de mieux localiser les maxima de son spectre.

Cela se fait par la technique du bourrage de zéros (en anglais zero-padding), qui consiste à compléter le signal s(n) par P zéros. La nouvelle définition devient :

$S(k) = \sum_{n=0}^{N+P-1}s(n).e^{-2 i \pi k \frac{n}{N+P}} = \sum_{n=0}^{N-1}s(n).e^{-2 i \pi k \frac{n}{N+P}}$

On somme toujours les mêmes valeurs de s(n) (les P autres étant nulles), mais on obtient une TFD de période N+P au lieu de simplement N : on a P points supplémentaires pour décrire la même TFD, on a donc augmenté sa résolution. Cette technique est notamment utilisée pour avoir un nombre de points total N+P en puissance de deux, et pouvoir utiliser un algorithme de transformée de Fourier rapide.

On peut, de la même manière, faire du bourrage de zéros sur le spectre afin d'obtenir, par transformée inverse, une interpolation sur le signal initial.

On considère ici toujours une fréquence d'échantillonnage de 1. En parlant en fréquences réduites (normalisées par rapport à la fréquence d'échantillonnage), la TFD est décrite pour des valeurs de la fréquence réduite variant entre 0 (pour k=0) et 1 (pour k=N+P).

[modifier] Signaux réels

Pour un signal réel, on a la relation

S (k) * = S ( - k)

(propriété de symétrie hermitienne). Lorsque l'on s'intéresse au spectre d'un signal, on élève le module de sa TFD au carré : le spectre est donc pair.

Or, on a vu que la TFD est périodique, de période $N + P$ : les fréquences $\frac{N+P}{2}$ et $N + P$ sont les mêmes que celles comprises entre $-\frac{N+P}{2}$ et 0. Les fréquences négatives étant identiques aux positives, toute l'information spectrale est contenue entre les fréquences $\frac{N+P}{2}$ et $N + P$ .

[modifier] Applications

La TFD est utilisée dans un large spectre d'applications, seuls les plus communs sont listés ici. Toutes ces application nécessitent l'existence d'un algorithme rapide de calcul de la TFD et de son inverse, voir à ce sujet les méthodes de Transformée de Fourier rapide.

[modifier] Analyse spectrale

à compléter...

[modifier] Compression de données

Le traitement du signal en général utilise énormément les opérations dans le domaine fréquentiel et en particulier la TFD ou une de ses variantes. En compression du son ou de l'image, des transformées proches de la TFD ( par exemple la transformée en cosinus discrète sont appliquées en général sur des portions de signal, pour réduire la complexité. Les coefficients $S (k)$ sont ensuites quantifiés avec des pas de quantification plus élevés pour les hautes fréquences, qui sont considérées comme négligeables pour la perception humaine. Le gain en compression vient de la réduction de précision de ces coefficients (voire leur suppression totale) qui nécessitent alors moins de bits pour être codés. Il s'ensuit généralement une étape de codage entropique. La reconstruction du signal s'effectue alors à partir de cet ensemble réduit de coefficients quantifiés.

[modifier] équations aux dérivées partielles

à compléter...

[modifier] Multiplication de grands nombres entiers

Les algorithmes les plus rapides pour la multiplication de grands nombres entiers sont basés sur la TFD. Les séquences de chiffres sont interprétées comme les éléments d'un vecteur, dont on calcule la convolution. On calcule pour cela leur TFD, qui sont multipliées entre elles (une convolution en temps est un produit en fréquence) puis on effectue la TFD inverse.

[modifier] Analyse de séries temporelles

La TFD est utilisée pour l'étude des séries temporelles (ou chronologiques) où le but est de trouver des corrélations entre deux séquences de données. Un exemple classique est l'analyse des cours de la bourse, afin de repérer des évenements particuliers. La problématique est en général celle de la fouille de données, ou de la recherche par similarité. La TFD est utilisée ici comme un moyen de réduire la dimensionnalité du problème. La TFD permet en effet de décorréler les données de départ et de ne travailler que sur un petit nombre de coefficients significatifs.

[modifier] Quelques TFD de signaux classiques

**quelques signaux et leurs TFD**
$x_n\equiv\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k \cdot e^{i 2 \pi kn/N}$	$X_k\equiv\sum_{n=0}^{N-1}x_n \cdot e^{-i 2 \pi kn/N}$	Note
$x_n \cdot e^{i 2 \pi kn/N} \,$	$X_{n-k}\,$	Propriété de translation
$x_{n-k}\,$	$X_k \cdot e^{-i 2 \pi kn/N}$	Propriété de translation
$x_n \in \mathbf{R}$	$X_k=X_{N-k}^*\,$	TFD d'un signal réel
$a^n\,$	$\frac{1-a^N}{1-a \cdot e^{-i 2 \pi k/N} }$
${N-1 \choose n}\,$	$\left(1+e^{-i 2 \pi k/N} \right)^{N-1}\,$

[modifier] Références

Analyse de Fourier et applications, Claude Gasquet, Patrick Witomski: Université de Grenoble I, Dunod (1996)
Efficient Similarity Search In Sequence Databases, Rakesh Agrawal, Christos Faloutsos, Arun Swami, Proceedings of the 4th International Conference of Foundations of Data Organization and Algorithms (1993)

[modifier] Voir aussi

matrice circulante qui donne une interprétation géométrique de la transformée de Fourier discrète
transformée de Fourier
Transformée de Fourier rapide
fenêtrage
transformée de Fourier à court terme

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