Dyskretna transformata Fouriera

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Dyskretna transformata Fouriera
- 1.1 Przekształcenie odwrotne
2 Postać macierzowa DFT
3 Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera

[edytuj] Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. discrete Fourier transformation) jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału $(a_{0}, a_{1}, a_{2},\dots, a_{N-1}), \ a_{i}\in\mathbb{R}$ w ciąg harmonicznych $(A_{0}, A_{1}, A_{2},\dots, A_{N-1}), \ A_{i}\in\mathbb{C}$ zgodnie ze wzorem:

$A_{n}=\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}w_{N}^{-kn}}, \ 0 \leq n \leq N-1$

$w_{N}=e^{j\frac{2\pi}{N}}$

gdzie:

$j$ - jednostka urojona, $n$ - numer harmonicznej, $k$ - numer próbki sygnału, $a k$ - wartość próbki sygnału, $N$ - liczba próbek.

[edytuj] Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

$a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}{A_{n}w_{N}^{kn}}, \ 0 \leq k \leq N-1$

[edytuj] Postać macierzowa DFT

Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:

$\mathbf{A}=\mathbf{Ma}$

$\mathbf{a}=\mathbf{WA}$

Macierze $a$ , $A$ , $M$ , $W$ mają następującą postać:

$\mathbf{a}=\left[\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ \vdots \\ a_{N-1} \end{matrix}\right]$ $\mathbf{A}=\left[\begin{matrix} A_{0} \\ A_{1} \\ \vdots \\ A_{N-1} \end{matrix}\right]$

$\mathbf{M}=\left[\begin{matrix} w_{N}^{-0\cdot 0} & w_{N}^{-1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 0} \\ w_{N}^{-0\cdot 1} & w_{N}^{-1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{N}^{-0\cdot (N-1)} & w_{N}^{-1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{-(N-1)(N-1)} \end{matrix}\right]$ $\mathbf{W}=\frac{1}{N}\left[\begin{matrix} w_{N}^{0\cdot 0} & w_{N}^{1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 0} \\ w_{N}^{0\cdot 1} & w_{N}^{1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{N}^{0\cdot (N-1)} & w_{N}^{1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{(N-1)(N-1)} \end{matrix}\right]$