Quantification (signal)

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En traitement du signal, la quantification est le procédé qui permet d'approximer un signal continu (ou à valeurs dans un ensemble discret de grande taille) par des valeurs d'un ensemble discret d'assez petite taille.

L'application la plus courante de la quantification est la conversion analogique-numérique mais elle doit le développement de sa théorie aux problèmes de quantification pour la compression de signaux audio ou image.

Le but de la quantification est, à partir d'une valeur d'entrée donnée d'un espace $E$ , de déterminer la valeur la plus proche dans l'ensemble $F$ d'arrivée. Dans le cas d'une conversion analogique-numérique, l'ensemble $E$ est continu, on peut prendre $E=\mathbb{R}$ et l'ensemble d'arrivée est discret, de taille finie. Cet ensemble est généralement appelé dictionnaire.

Exemple de quantification (en rouge) d'un signal continu

[modifier] Quantification scalaire

On parle de quantification scalaire lorsque le dictionnaire est de dimension 1, c'est-à-dire ses valeurs sont des scalaires. La quantification scalaire est la forme la plus simple de quantification, le cas où le dictionnaire est un espace de dimension supérieure à 1 est appelé la quantification vectorielle.

Définition: Un quantifieur scalaire de taille N est une application $Q$ de $\mathbb{R}$ dans un ensemble discret fini $F$ de dimension 1 et de taille N, $F=\{x_1\ldots x_n\}$ , $Q: \mathbb{R} \to F$ .

On notera $\hat{x}=Q(x)$

Un quantifieur peut se définir comme un ensemble d'intervalles de l'espace de départ, chaque intervalle correspondant alors à une seule valeur de l'espace d'arrivée. La forme typique de quantifieur est donc une fonction en escalier. La largeur d'un intervalle est appelée le pas de quantification.

[modifier] Quantifieur scalaire uniforme

Quantificateur uniforme avec un pas de quantification de 1

C'est le type de quantifieur le plus simple, où les intervalles sont de longueur constantes. Le pas de quantification est donc fixe. Il est parfois appelé quantifieur scalaire symétrique.

[modifier] Quantifieur à zone morte

C'est un type spécial de quantifieur, où l'intervalle autour de zéro est plus large. La zone morte ou dead-zone qualifie donc cet intervalle autour de zéro, qui permet à l'ensemble des valeurs de source considérées comme petites d'être quantifiées à une seule même valeur (généralement zéro).

Ce type de quantifieur est donc non-uniforme (ou asymétrique). Toutefois, si l'ensemble des autres intervalles sont uniformes, on qualifie généralement ce type de quantifieur d'uniforme à zone morte.

Ce type de quantifieur est très utilisé en compression d'image, où suite à une transformation de l'image par ondelette ou DCT, il existe de très nombreuses valeurs autour de zéro, non-significatives, qui pénaliseraient la suite du processus de codage. Typiquement, les valeurs comprises dans la zone morte sont quantifiées à zéro, et ne sont donc pas considérées par le codage entropique. Il existe alors de très nombreux coefficients quantifiés à zéro, ce qui permet d'utiliser des méthodes comme le RLE.

Le standard JPEG 2000 utilise un quantifieur scalaire uniforme à zone morte.

[modifier] Autres quantifieurs scalaires non uniformes

De manière générale, on peut répartir les niveaux de quantification de toutes les façon possibles.

Pour un signal de parole, dont la plupart des valeurs sont autour de zéro, on utilisera un quantifieur avec beaucoup de niveaux autour de zéro et peu de niveaux ailleurs.

[modifier] Bruit de quantification

La quantification est une opération destructrice d'information. Elle introduit un erreur entre le signal quantifié et le signal source. Cette erreur est généralement mesurée par la distance suivante :

$d(x,\hat{x})=|x-\hat{x}|^2$

Cette erreur de quantification est aussi appelée distorsion. En pratique, on utilise plutôt l'espérance de la distorsion, en considérant l'ensemble du signal comme une suite de réalisations d'une variable aléatoire $X$ . On obtient alors la distorsion moyenne par :

$D=E\left[d(X,Q(X)\right]$

Si la distance d est celle définie plus haut, D est alors l'erreur quadratique moyenne

[modifier] Quantifieur scalaire optimal

Le quantifieur optimal est celui qui minimise la distorsion.

Le quantifieur scalaire uniforme est optimal si la source est uniforme. Les signaux audio ou image ne peuvent cependant être considérés comme des sources uniformes, ce qui a conduit à la recherche d'algorithmes permettant de générer un quantifieur optimal, pour tous types de sources. Ce quantifieur est donné par l'algorithme de Lloyd-Max, basé sur les conditions d'optimalités définies par Lloyd en 1957.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

M. Antonini and V. Ricordel. Chapitre Quantification, pages 45-72. Traité IC2. Hermès, Paris, janvier 2002.
Quantization Robert M. Gray, David L. Neuhoff, IEEE Trans. on Inf. Theory, 1998
Source Coding Theory, Robert M. Gray
S. P. Lloyd, “Least squared quantization in PCM,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-28, pp. 129-137, Mar. 1982