Exponentielle

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La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques.

Sommaire

1 Approche vulgarisée
2 Définitions et propriétés
3 Voir aussi

[modifier] Approche vulgarisée

Si a est un nombre réel et n est un nombre entier, alors l'« exponentielle de n en base a » est égale à « a puissance n » soit :

$\exp_a(n) = {a\times a\times \cdots \times a}\,$ (n fois)

On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes log_a, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles.

Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles.

Il existe une base e telle que l'exponentielle de base e est la fonction réciproque du logarithme népérien ln. Dans cette base, la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même soit $(e^x)' = e^x~$ . C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle que l'on se réfère généralement si on n'en précise pas une autre.

[modifier] Définitions et propriétés

[modifier] Définitions

On note la fonction exponentielle $\exp\,$ ou encore $x\mapsto e^x$ (où $e\,$ est la base naturelle des logarithmes), et cette fonction peut être définie de plusieurs façons équivalentes, l'une étant comme une somme de série et l'autre comme une limite :

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}$

$\exp(x) = \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

Ici $n!$ est la factorielle de $n$ et $x$ représente n'importe quel nombre réel ou complexe. Dans toute algèbre de Banach, la série précédente est normalement convergente, et on peut donc définir l'exponentielle d'un élément quelconque d'une telle algèbre, ou encore d'un élément quelconque du corps des nombres p-adiques.

[modifier] Fonction exponentielle réelle

Si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif.

représentation graphique de l'exponentielle réelle

D'autre part la fonction exp de $\R$ dans $\R_+^*$ est strictement croissante et continue. De plus, $\lim_{x\to -\infty}\exp(x)=0$ et $\lim_{x\to +\infty}\exp(x)=+\infty$ , elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur $\mathbb R_+^*$ .

Pour définir l'exponentielle, une troisième approche, plus rare car limitative, mais qui ne nécessite pas les mêmes connaissances préalables, consiste à définir le logarithme népérien comme primitive de la fonction inverse, et l'exponentielle réelle comme la réciproque de la fonction logarithme népérien.

La fonction exponentielle est dérivable et a pour dérivée exp, donc est indéfiniment dérivable. De plus exp est convexe.

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout $a > 0$ la fonction exponentielle de base a notée $\exp_a\,$ ou $x\mapsto a^x$ , par :

$\forall x,\ a^x = \exp(\ln(a) x)\,$ .

La fonction exponentielle permet aussi de définir les fonctions trigonométriques avec les formules d'Euler et les fonctions hyperboliques. Ainsi nous voyons que toutes les fonctions élémentaires, à l'exception des fonctions polynomiales, s'expriment à partir de la fonction exponentielle, sous une forme ou une autre.

Les fonctions exponentielles «transforment une addition en une multiplication», comme le montrent ces propriétés :

$a^0 = 1\,$

$a^1 = a\,$

$a^{x + y} = a^x a^y\,$

$a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

${1 \over a^x} = \left({1 \over a} \right)^x = a^{-x}$

$a^x b^x = (a b)^x\,$

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tout réel x.

Pour a réel strictement positif, $\exp_a\,$ est le seul morphisme monotone du groupe additif $\R$ dans le groupe multiplicatif $\R_+^*$ des réels strictement positifs vérifiant $\exp_a(1)=a\,$ .

Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif $\R$ sur le groupe multiplicatif $\R_+^*$ ; strictement croissant si a>1 et strictement décroissant si a<1.

D'autre part, il est possible d'écrire des expressions faisant intervenir des quotients ou des racines en utilisant la notation exponentielle. Par exemple :

${1 \over a} = a^{-1}\,$

$\sqrt{a} = a^{1/2}\,$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\,$

[modifier] Fonction exponentielle dans le plan complexe

On peut définir la fonction exponentielle complexe de 2 façons:

$\exp(iz) = \cos(z)+i\sin(z)\,$

En utilisant le développement en série de l'exponentielle qui permet d'étendre celle-ci au plan complexe.

$\exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}$

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes, pour tous z et w :

$\exp(z + w) = \exp(z) \exp(w)\,$

$\exp(0) = 1\,$

$\exp(z) \ne 0$

$\exp '(z) = \exp(z)\,\!$

Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries selon le mode de définition de l'exponentielle.

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire $2 \pi i\,$ et vérifie :

$\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Cette formule est le lien entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, et c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme $z\mapsto \ln(z)$ , appelée logarithme complexe.

On peut définir une exponentielle plus générale :

pour tous nombres complexes z et w, $z^w = \exp(\ln(z) w)\,$

C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

[modifier] Fonction exponentielle et trigonométrie

La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Grâce aux formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition $\exp(iz) = \cos(z)+i\sin(z)\,$ ) nous donne un lien direct entre les fonction cosinus et sinus, réellees ou non, et la fonction exponentielle complexe.

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

Ces formules permettent de retrouver la plupart des formules trigonométriques, en particulier

$\cos(a+b)= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b) ~$

$\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b) +\sin(b) \cos(a) ~$

à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile (bien que les calculs puissent être longs) de linéariser des fonctions trigonométriques.

$\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}$

$\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}$

Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que

$e^{i(n-k)x}e^{-ikx} = e^{i(n-2k)x}\,$

$e^{imx} + e^{-imx} = 2\cos (mx)\,$

$e^{imx} - e^{-imx} = 2i\sin (mx)\,$

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.

[modifier] Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique

A partir de la fonction exponentielle, on peut défiir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

[modifier] Fonction exponentielle et équation différentielle

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

$(\lambda e^{ax})' = a \lambda e^{ax}\,$

ou plus exactement, on a $\varphi : x\mapsto \lambda e^{ax}$ si et seulement si

$\varphi' = a \varphi\,$ et $\varphi(0) = \lambda\,$

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :

$y' = y\,$

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

[modifier] Fonction exponentielle de matrices et sur une algèbre de Banach

La définition de la fonction exponentielle exp donnée précédemment peut être utilisée sur toute algèbre de Banach, et en particulier sur l'ensemble des matrices carrées. Dans ce cas nous avons :

si $xy = yx\,$ alors $\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\,$

$\exp(0) = 1\,$

$\exp(x)\,$ est inversible et a pour inverse $\exp(-x)\,$

La différentielle de l'exponentielle en

0

est l'identité.

Dans le cadre des algèbres non-commutatives, d'algèbres de matrices, d'opérateurs sur les espaces de Banach ou sur les espaces de Hilbert, on utilise beaucoup la fonction d'une variable réelle:

$f(t) = \exp(t A)\,$

où $A$ est un élément fixé de l'algèbre et $t$ un réel quelconque. Cette fonction a les propriétés importantes :

$f(s + t) = f(s) f(t)\,$

$f(0) = 1\,$

$f'(t) = A f(t)\,$

On peut démontrer, grâce au théorème d'inversion locale, que pour toute application continue de $\R\,$ dans une algèbre de Banach (c'est déjà intéressant en dimension finie) telle que $f(s + t) = f(s) f(t)\,$ et $f(0) = 1\,$ , il existe un $A\,$ tel que $f(t) = \exp(t A)\,$

Dans le cas de dimension finie et sur le corps des nombres réels ou complexes, une démonstration est donnée dans l'article Diagonalisation

Remarque:

L'exponentielle matricielle est definie comme...

$\exp(A) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {A^n \over n!}$

[modifier] L'application exponentielle sur les algèbres de Lie

Article détaillé : exponentielle pour un groupe de Lie.

L'application exponentielle envoie une algèbre de Lie sur le groupe de Lie de l'algèbre. Cela implique qu'elle partage les propriétés mentionnées ci-dessus. En fait, puisque ℝ est l'algèbre de Lie du groupe de Lie de tous les nombres réels strictement positifs avec la multiplication, la fonction exponentielle ordinaire d'une variable réelle est un cas particulier de la fonction exponentielle pour une algèbre de Lie. De même, puisque l'algèbre de Lie M(n, ℝ) de toutes les matrices carrées réelles est issue du groupe de Lie des matrices carrées inversibles, la fonction exponentielle pour les matrices carrées est un cas particulier de la fonction exponentielle sur une algèbre de Lie.

[modifier] Voir aussi

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