Problème à deux corps

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Le problème à deux corps est un point de départ de la mécanique classique, et un sujet essentiel de la mécanique céleste. Il concerne l'étude du mouvement relatif de deux points matériels $M 1$ et $M 2$ affectés de masses respectives m₁ et m₂ en interaction gravitationnelle. La solution était connue de Newton, le physicien qui a énoncé la loi fondamentale de la mécanique classique : le résultat est annoncé dans les propositions 57 à 65 de ses Principia.

Si le système est supposé isolé dans l'espace, les points M₁ et M₂ décrivent par rapport au centre de masse des ellipses homothétiques dont l'un des foyers est le centre de masse. Les caractéristiques (excentricité, position du second foyer) s'expriment en fonction de la masse réduite $μ$ et de la masse totale. Ce résultat, loin d'être scolaire, est employé dans la détection des planètes extrasolaires.

[modifier] Brève explication

On pose :

$\vec{r}=\vec{M_1 M_2}$
$\vec{F}$ la force de $M 1$ sur $M 2$
$C$ le centre de masse de $M 1$ et $M 2$

$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ où $m 1, m 2$ sont les masses respectives des points $M 1, M 2$

Les propriétés suivantes sont alors vérifiées :

$\vec{r}=\vec{CM}$
le point $M$ subit la force $\vec{F}$ . En effet, le principe fondamental de la dynamique est vérifié : $\mu\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\vec{F}$
La quantité de mouvement de $M$ vaut $\vec{P}=\mu\vec{\dot{r}}$

Le problème est donc ramené à un mouvement à force centrale, qui a été largement étudié.

[modifier] Autre méthode

On décide d'étudier le mouvement de M2 dans le référentiel accéléré en translation d'origine M1 : il faut rajouter à la force centrale F(de1/2), la force d'inertie centrale -M2 a1 .

Or M1 a1 = F( de 2/1) = - F( de 1/2) :

Donc le PFD s'écrit : M2 a2 = F(de1/2) + F(1/2).(M2/M1) ; soit $μ$ .a2 = F( de 1/2) : CQFD.