Paradoxe de l'interrogation surprise
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Le paradoxe de l'interrogation surprise a été relevé par le professeur de mathématiques, Lennart Ekbom. Il fut publié en 1948 dans Mind.
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[modifier] Énoncé
Un professeur annonce à ses élèves :
« Il y aura une interrogation surprise la semaine prochaine. »
Précisons les termes. Il faut comprendre trois choses :
- une interrogation aura lieu durant un "cours" soit le lundi, soit le mardi, soit le mercredi, soit le jeudi, soit le vendredi ;
- juste avant le début de l'interrogation, l'élève ne pourra avoir la certitude que l'interrogation va avoir lieu ;
- une unique interrogation aura lieu.
[modifier] Explications
[modifier] En quoi est-ce un paradoxe ?
Un élève futé fait le raisonnement suivant : Si jeudi soir, l'interrogation n'a pas eu lieu, alors je serai certain qu'elle est pour vendredi. Ce ne sera donc plus une surprise. L'interrogation ne peut donc avoir lieu vendredi parce c'est le dernier jour possible. Mais puisque l'interrogation ne peut avoir lieu le dernier jour, l'avant-dernier jour devient de facto, le dernier jour possible. Ainsi, par récurrence, on en déduit que l'interrogation ne peut avoir lieu.
Essayons de formaliser le problème. l'énoncé peut être (partiellement) interprété ainsi :
où i et j ∈ {1,..,5} sont des jours de la semaine et P(i) le prédicat : « il y a une interrogation le jour i » (¬ est la négation et ∧ la conjonction). Or, en utilisant l'équivalence entre ¬(a ⇒ b) et (a ∧ ¬b), on voit immédiatement la contradiction :
[modifier] De quel nature est ce paradoxe ?
Apparemment, il ne s'agit que d'un propros fallacieux de même nature que les paradoxes sorites.
Cependant, l'éléve peut pousser plus loin le raisonnement. De la première conclusion, il doit déduire que le professeur a obligatoirement menti. Mais en quoi a-t-il menti ? Si le vendredi soir, l'examen a bien eu lieu, alors le mensonge est dans l'effet de surprise uniquement. Mais puisque le professeur est un menteur, il se peut qu'il n'y ait pas du tout d'examen. Le raisonnement initial n'est donc plus valable ; l'interrogation constituera bien une surprise même si elle survient le vendredi. Finalement, le professeur ne mentira pas si et seulement si il est pris pour un menteur. On retrouve donc le paradoxe du menteur.
Ce paradoxe est en réalité inhérent au mot surprise et à la notion d'aléatoire.
Si Lennart dit à Marie : « Je vais te faire une surprise. » Alors Marie doit s'attendre à une surprise. La surprise sera alors conforme à son attente ; donc non suprenante. Lennart ne peut plus surprendre Marie que par l'absence de surprise ; c'est-à-dire, en se démentant par le non-faire. En se démentant, il surprend ; donc ne se dément pas.
En définitive, annoncer la surprise, c'est ôter l'effet de surprise.
[modifier] Autres interprétations
En réalité, si la logique mathématique donne raison à l'élève, le sens commun se rangera du coté du professeur. Mais où se situe l'erreur de l'élève ? Comme l'a fait remarquer Thomas O'Beirne en 1965, elle se trouve dans le postulat implicite initial que « le professeur ne pouvait mentir. » Il faut donc considérer que la suprise est due non seulement à la date de l'interrogation, mais aussi à la non-sincérité du professeur. La sincérité du professeur ne repose que sur la possibilité du mensonge. Si la première interprétation était au premier degré, et cette interprétation est au second degré. Elle ne fait que déplacer le paradoxe. On retrouve la première interprétation en ajoutant un (méta-)axiome :
- le professeur dit vrai
En d'autres termes, les premiers axiomes sont vrais.
[modifier] Solutions proposées
[modifier] Solution de Quine
[modifier] Références
- D. J. O'Connor, "Pragmatic Paradoxes", Mind 1948, Vol. 57, pp. 358-9.
- M. Scriven, "Paradoxical Announcements", Mind 1951, vol. 60, pp. 403-7.
- R. Shaw, "The Unexpected Examination" Mind 1958, vol. 67, pp. 382-4.
- C. Wright and A. Sudbury, "the Paradox of the Unexpected Examination," Australasian Journal of Philosophy, 1977, vol. 55, pp. 41-58.
- A. Margalit and M. Bar-Hillel, "Expecting the Unexpected", Philosophia 1983, vol. 13, pp. 337-44.
- C. S. Chihara, "Olin, Quine, and the Surprise Examination" Philosophical Studies 1985, vol. 47, pp. 19-26.
- P. Franceschi, "Une analyse dichotomique du paradoxe de l'examen-surprise", Philosophiques 2005, vol. 32-2, pp. 399-421.
- R. Kirkham, "On Paradoxes and a Surprise Exam," Philosophia 1991, vol. 21, pp. 31-51.
- T. Y. Chow, "The surprise examination or unexpected hanging paradox," The American Mathematical Monthly Jan 1998 [1]
