Paradoxo do exame sorpresa

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

O paradoxo do exame sorpresa é un paradoxo relacionado coa lóxica.

O seu enunciado é o seguinte:

Un profesor entra na clase un día e afirma:

Un día da semana que vén vos porei un exame sorpresa. O exame será unha sorpresa no senso en que non poderedes saber cando se vai a realizar ata o momento en que vos entregue o enunciado.

Os alumnos, tras escoitar isto, razoan do seguinte xeito:

Se non coñecemos con antelación cando se vai a realizar o exame, non poderá ser o venres xa que se chega o xoves e non se celebra, está claro que o venres é cando se vai a realizar. Mais se o venres non se pode realizar o exame, o xoves tampouco, xa que se chega o mércores e non se realiza, o xoves é o único momento en que podería facerse e xa non sería unha sorpresa. Mais se non se pode realizar o xoves, tampouco se poderá o mércores, martes e luns polos mesmos motivos. De xeito que é imposíbel que se celebre un exame nestas condicións.

Chega a semana seguinte, e tanto o luns como o martes a clase continúa normalmente, e os alumnos están aliviados. Sen embargo, o mércores, o profesor entra pola porta e pídelles que garden os seus libros para realizar o exame.

¿Onde está o erro no razoamento dos alumnos?

[editar] Unha forma máis simple disto paradoxo

Para estudar este paradoxo, é útil observar unha forma máis simple del:

O profesor di aos alumnos:

O venres teremos un exame. O día do exame será unha sorpresa

Por suposto, os alumnos razoan que se dixo o día do exame, xa non pode ser unha sorpresa, polo que o profesor estase contradicindo. Non é posíbel un exame así.

Ese venres, cando o profesor anuncia o exame, os alumnos sorpréndense, polo que de algunha forma, o que dixo o profesor é certo.

[editar] A forma máis simple do paradoxo

O profesor afirma:

Non podedes saber que o que estou dicindo é certo

Os alumnos pensan:

Supoñamos que podemos probar que o que di é certo. Entón saberemos que é certo. Mais di que non podemos sabelo, polo que ten que ser falso. Se decidimos loxicamente que o enunciado é falso, entón o que di, que non podemos saber que é certo, é certo, polo que o enunciado é certo. Por tanto, debemos concluír que esta afirmación é tan contraditoria e sen senso como "esta afirmación é falsa".

Sen embargo, dado que os alumnos non saben que o que dixo o profesor é certo, a súa afirmación é certa.

[editar] Comentario

Isto paradoxo é tan inquietante porque, a pesar de que os alumnos parecen demostrar que a afirmación autocontradícese, ao final, é certa. Suxeríronse varias resolucións para ela.

Pódese afirmar que non está claro aquilo que os alumnos teñen permitido agardar e cando se supón que están sorprendidos. Se os alumnos son paranoicos e todos os días pensan que ao día seguinte terán o exame, entón, obviamente, non é unha sorpresa, e o paradoxo desaparece. Cando estudamos o paradoxo, non tendemos a ofrecer a posibilidade de repetir a súa decisión, isto é, cremos que os estudantes só teñen permitido escoller unha vez o día do exame. Sen embargo, no seu razoamento, os estudantes si ofrécense esta liberdade: "Se non o temos o xoves, entón decidiremos que debe ser o venres, de xeito que o mércores decidiremos que debe ser o xoves...".

Outra posíbel solución é comparar o punto de vista dos alumnos co do resto do mundo. Podemos dicir que estarán "sorprendidos" se non poden probar razoadamente e consistentemente, que iso vaise a producir dese xeito, usando as afirmacións do profesor como axiomas. Neste caso, os alumnos están verdadeiramente sorprendidos á hora do exame. A pesar de que eles non puideron probar cando vai a ser o exame, todos os demais observadores poderían. A contradición só apareceu cando os alumnos tratan de probalo.

Isto paradoxo é análoga á paradoxo do mentireiro no senso en que é o seu axiomas son autoreferentes, isto é, que falan sobre a súa propia veracidade. Diferénciase dela en que engade un novo elemento, que é que indican qué persoa debe probalos. A palabra "sorpresa" é en esencia un axioma que afirma que os alumnos non poderán probar certas cousas mentas todos os demais si. Isto fai que realmente non haxa un paradoxo, xa que é perfectamente posíbel que nós poidamos probar algo que os alumnos non poidan, debido ao xeito en que os axiomas refírense a quen fai a proba.

É interesante observar que o Teorema da incompletitude de Gödel pode verse como un xeito de traducir o paradoxo do mentireiro a matemática formal, xa que atopou un xeito formal de deixar que os axiomas autorreferenciásense. Non existe esa tradución para isto paradoxo, xa que os axiomas formais non poden referirse a un observador específico deste xeito.