Ley de reciprocidad cuadrática
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En matemática, dentro de la teoría de números la ley de reciprocidad cuadrática designa una teorema que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas:
donde p y q son números primos impares. El enunciado del teorema es el siguiente:
- Si ninguno de los primos p o q pertenece a la sucesión 4k + 1 entonces una de las congruencia tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión 4k + 1 entonces bien ambas congruencias tienen solución, bien ninguna de las dos tiene solución.
El teorema fue demostrado por primera vez en 1801 por Gauss, en su libro Disquisitones Arithmeticae, donde da dos demostraciones del mismo. Gauss le tenía en gran estima y lo denominó el teorema Aureo. El teorema fue enunciado inicialmente por Euler en 1742 en su carta a Goldbach. Legendre en 1798 publicó una demostración que se basaba en argumentos no probados.
El enunciado puede simplificarse utilizando el Símbolo de Legendre:
entonces el enunciado del teorema puede resumirse de la siguiente forma:
Como 
es par si alguno de los primos p o q es congruente con 1 mod 4, y es impar en otro caso, 
es igual a 1 si p o q es congruente con 1 mod 4, y es igual a –1 si ambos son congruentes con 3 mod 4.
En el libro Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, de Franz Lemmermeyer, publicado en 2000, aparecen citadas 196 demostraciones diferentes de la ley de reciprocidad cuadrática.
Algunas de las demostraciones más sencillas de la ley de reciprocidad cuadrática utilizan el lema de Gauss que trata sobre residuos cuadráticos, y que el mismo utilizó en dos de sus ocho demostraciones.
Existen otras leyes de reciprocidad: cúbica, bicuadrática y otras de grados superiores o de naturaleza algo diferente, aunque normalmente se encuentran fuera del ámbito de la aritmética de números enteros, y es necesario acudir a cuerpos de números algebraicos.
