Réciprocité cubique
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.
[modifier] Notations algébriques
La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c'est à dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme
où a et b sont des entiers et
est une racine de l'unité cubique complexe.
Si 
est un élément premier de E de norme P et 
un élément premier avec , nous définissons le symbole résidu cubique 
comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de 
) satisfaisant
De plus, nous définissons un nombre premier primaire comme étant congru à -1 modulo 3. Alors, pour des nombres premiers primaires distincts et 
la loi de réciprocité cubique est simplement
avec des lois supplémentaires pour les unités et pour les nombres premiers 
de norme 3 qui si 
alors
[modifier] Références
- David A. Cox, Primes of the form x2 + ny2, Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
- K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
- Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein, Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.
