Localisation (mathématique)
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[modifier] Notion intuitive
La localisation est une des opérations de base sur un anneau commutatif unitaire; c'est elle qui permet de rajouter des inverses aux éléments qui peuvent raisonnablement en avoir (les diviseurs de zéro sont l'exemple typique d'élément qu'il est déraisonnable de vouloir inverser).
[modifier] Définition rigoureuse
On définit une partie multiplicative S d'un anneau A comme étant une partie de A contenant 1, et stable par multiplication.
La localisation de l'anneau A en la partie S est alors un anneau, noté S − 1A, et un morphisme , tels que: , et universels ayant cette propriété; c'est-à-dire que pour tout un morphisme d'anneaux , si , alors il existe un unique morphisme tel que .
[modifier] Exemples importants
- les éléments réguliers forment une partie multiplicative; l'anneau est l'anneau total des fractions de A;
- le complémentaire d'un idéal premier p est une partie multiplicative, et peut donc servir pour localiser l'anneau. Dans ce cas, on note Ap = (A − p) − 1A. C'est un anneau local.
[modifier] A voir
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