Groupe symétrique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des bijections de E sur lui-même.

Sommaire

1 Définition
- 1.1 Origine et importance
2 Propriétés
- 2.1 Générateurs du groupe symétrique
3 Généralisations

[modifier] Définition

Soit $E$ un ensemble. On appelle groupe symétrique de $E$ l'ensemble des applications bijectives de $E$ sur $E$ muni de la composition d'applications. On le note $\mathfrak{S}(E)$ (ce caractère est un S).

Un cas particulier courant est le cas où $E$ est l'ensemble fini $\{1, 2, \ldots, n\}$ , $n$ étant un entier naturel strictement positif ; on note alors $\mathfrak{S}_n$ le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de $\mathfrak{S}_n$ sont appelés permutations et $\mathfrak{S}_n$ est appelé groupe des permutations d'ordre n.

Maintenant, si $E \,$ est un ensemble à n éléments, alors on sait que $\mathfrak{S}_n$ est isomorphe à $\mathfrak{S}(E)$ . En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du groupe $\mathfrak{S}_n$ pour en déduire celles du groupe $\mathfrak{S}(E)$ . C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur $\mathfrak{S}_n$ .

[modifier] Origine et importance

Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à l'origine du concept de groupe.

Un théorème de Cayley assure que tout groupe peut être considéré comme sous-groupe d'un groupe symétrique.

[modifier] Propriétés

Le groupe $\mathfrak{S}_n$ est d'ordre $n!$

Une transposition est une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. Toute permutation peut être écrite sous la forme de produit de transpositions. Ce produit n'est pas unique, mais le nombre de transpositions nécessaire pour représenter une permutation est toujours soit pair, soit impair. On parle alors de permutation paire ou impaire et on définit la signature d'une permutation $σ$ :

$\operatorname{sgn}(\sigma)=\left\{\begin{matrix} +1, & \mbox{si } \sigma \mbox{ est paire } \\ -1, & \mbox{si } \sigma \mbox{ est impaire } \end{matrix}\right.$

Avec cette définition, l'application $\operatorname{sgn}: \mathfrak{S}_n\to \{+1, -1\}$ est un homomorphisme de groupe ( ${ + 1, - 1}$ muni de la multiplication est un groupe). Le noyau de cet homomorphisme, c’est-à-dire l'ensemble des permutations paires, est appelé le groupe alterné d'ordre n, noté $\mathfrak{A}_n$ (ce caractère est un A). $\mathfrak{A}_n$ est un sous-groupe distingué de $\mathfrak{S}_n$ et possède ${n!\over 2}$ éléments. En effet, $\mathfrak{A}_n$ et son complémentaire dans $\mathfrak{S}_n$ sont de même cardinal (pour t transposition de $\mathfrak{S}_n$ , $f:\sigma\longmapsto t \circ \sigma$ est une bijection de $\mathfrak{A}_n$ dans son complémentaire)

[modifier] Générateurs du groupe symétrique

Toute permutation s'écrit comme un produit de transpositions, donc les transpositions forment un système de générateurs du groupe symétrique. Plus précisément, il est possible de se limiter aux transpositions de la forme (i,i+1) puisque, pour i<j, il est possible de décomposer

$(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)$