対称群

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対称群（たいしょうぐん、Symmetric group）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものの並べ替え」を置換（ちかん、permutation）という。また、対称群を置換群（ちかんぐん、permutation group）と呼ぶこともある。

数学の議論の様々なところに「番号を入れ替える」「入れ替えの可能性が何通りあるかを考える」というような局面が現れるので、対称群はそのような議論を補助する道具としても有用である。

[編集] 定義

集合 X を考える（無限集合でもよい）。X から X への全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sym(X) は群になることがわかる。このとき、Sym(X) を集合 X の置換群または対称群という。

特に X が有限集合で、X に含まれる元の個数（X の位数）を n とすると、X と集合 {1, 2, ..., n} は同一視できる（つまり全単射が存在する）。このとき、Sym(X) は通常 S_n と書かれ、n 次の対称群と呼ばれる。S_n の元を {1, 2, ..., n} の置換という。

置換は、{1, 2, ..., n} を入れ替えた順列と自然に同一視できるので、n 次対称群の位数は n! である。

[編集] 諸概念

[編集] 互換と符号

置換のうち、特に 2 つの元のみを入れ替えて他の元は変えないものを互換という。

任意の置換は互換の積として表せる。このとき表し方は一通りではないが、互換の数が偶数であるか奇数であるか（偶奇性、パリティ）は表し方に依らずに決まる。偶数個の互換の積として表される置換のことを偶置換 (even permutation) といい、奇数個の互換の積として表される置換のことを奇置換 (odd permutation) という。

置換 σ について、 sgn(σ) を次のように定める。この sgn(σ) のことを置換 σ の符号という。

$\sgn(\sigma) = \left\{\begin{matrix} +1 & \mbox{if }\sigma\mbox{ is even}\\ -1 & \mbox{if }\sigma\mbox{ is odd} \end{matrix}\right.$

n 次対称群の元のうち特に偶置換のみを集めると、その全体は n 次対称群の正規部分群となる。この群のことを n 次交代群 といい、A_n と表す。

[編集] 置換行列

n 次の対称群をベクトル空間の基底の変換として作用させることで置換を行列表示することができる。具体的に n 次元のベクトル空間 V とその基底 {e₁, e₂, ..., e_n} をひとつ固定して、置換 σ の V への作用を

σ(e_i) = e_σ(i)

(1 ≤ i ≤ n) によって定める。このとき σ の表現行列を P_σ とすると

σ(e₁, e₂, ..., e_n) = (e_σ(1), e_σ(2), ..., e_σ(n)) = (e₁, e₂, ..., e_n)P_σ

から、クロネッカーのデルタ δ を用いて P_σ = (δ_iσ(j)) となる。この行列 P_σ を、置換 σ に対応する置換行列（ちかんぎょうれつ、permutation matrix）という。

[編集] 中学入試における置換

中学入試における，置換群（対称群）の応用問題として，カードのシャッフル，あみだくじ，平面図形の置換，15ゲームなどがある。

[編集] カードのシャッフル

1982年に麻布中に出たものが初出であろう。この問題について，芥川賞受賞作家が著書の中で「取り組んでみたが徒労に終わった。」とやや否定的に書かれた。それかあらぬか,しばらく，中学入試には，出題されなかったが，2002年に東京大学に出たのを受け，2004年から,2006年にかけて，ポツポツと出題され始めた。（2006年現在）

[編集] あみだくじ

どの中学が初出かは特定できない，算数オリンピクの影響という説も有力，中学入試では，十余年前から出始めた問題。

あみだくじの1つの横棒が1つの互換を表すので，1つのあみだくじ全体によって,一般の置換が表現できることになる。

[編集] 平面図形の置換

正三角形や正方形を回転移動，あるいは対称移動して自分自身に重ねる移動の演算。

[編集] 15ゲームもどき

15ゲームとは，4×4=16のスペースの中に1から15までの数が1つずつ書かれた正方形のこまをスライドさせるソリティアスライディングゲームを言う。

中学入試では，その縮小版と見られる，2×2=4のスペースの中に1から3までの数が1つずつ書かれた正方形のこまをスライドさせる，あるいは3×3=9のスペースの中に1から8までの数が1つずつ書かれた正方形のこまをスライドさせるという形式で,出題される。

[編集] 数字のならべ換え

数字や文字のならべ換えを，置換のモデルとして出題するのは，かって30年前の現代カリキュラムのときに出たきりで，今のところ出ていないが，あみだくじと本質的には同じことである。

などが主なものである。

[編集] 関連事項

群ではないが，剰余系（有限可換環）なども,直接間接的によく出る。また，ごく最近,さいころを静かに転がして出る目の推移を問う問題も出はじめた。これなどは，群・環・体など,既成のいわゆる代数系の枠を超えたようなものである。また，ブラックボックスの連接などフローチャート関連も出ている。これなどは回顧的な問題というよりも，昨今のパソコンの普及の影響が大きいと見られる。以上のような，「操作の連接」という大枠でくくられる問題が出始めた。受験算数の対象が，「数と図形」から「数と図形と操作」にかわりはじめているような様相である。