Dérivation directionnelle

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La dérivée de Lie est un procédé de dérivation des fonctions numériques, champs de vecteurs, et plus généralement des champs tensoriels définis sur une variété différentielle.

Sommaire

1 Dérivée de Lie d'une fonction numérique
2 Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs
- 2.1 Définition par le crochet de Lie
- 2.2 Définition en suivant le flot

[modifier] Dérivée de Lie d'une fonction numérique

[modifier] Définition comme dérivée directionnelle

La dérivée de Lie généralise aux variétés différentielles la notion de dérivée directionnelle d'une fonction numérique. Si f est une fonction différentiable de la variété différentielle M dans $\mathbb{R}$ , si X est un champ de vecteurs sur M, la dérivée de Lie de f au point p est

$\mathcal{L}_Xf(p)=X_p \cdot f=df(p)\, [X(p)]$

C'est-à-dire l'image du vecteur X(p) par la différentielle de f en p. Si la variété est munie d'une structure riemannienne, il est encore possible d'écrire ce calcul à l'aide du gradient de f

$\mathcal{L}_Xf(p)=X_p \cdot f=\langle X | \nabla f(p)\rangle$

En coordonnées locales, et en utilisant les conventions de sommation d'Einstein

$\mathcal{L}_Xf(p)=X^a\frac{\partial f}{\partial x^a}$

[modifier] Définition équivalente, en suivant le flot

Avec les mêmes notations, le champ de vecteurs X définit une famille de courbes intégrales sur M. Notamment il existe une courbe γ(t), tracée sur M, passant par p en t=0, et tangente au champ de vecteurs en tout point

$\frac{d\gamma}{dt}(t)=X(\gamma(t))$

La dérivée de Lie de la fonction f peut alors également être définie par

$\mathcal{L}_Xf(p)=\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) \vert_{t=0}$ .

[modifier] Identification des dérivations et des champs de vecteurs

Soit de nouveau une variété différentielle M, F l'anneau des fonctions numériques indéfiniment différentiables sur M. Une dérivation est une application de F dans F, linéaire et qui vérifie la formule de Leibniz

$D(\lambda f+g)=\lambda D(f)+g \qquad D(fg)=fD(g)+gD(f)$

Notamment, pour tout champ de vecteurs X, la dérivation de Lie $f\mapsto \mathcal{L}_Xf$ définit une dérivation. La réciproque est vraie : toute dérivation de M est une application de la forme $\mathcal{L}_X$ pour un certain champ de vecteurs X. On peut donc identifier l'espace vectoriel des dérivations et celui des champs de vecteurs.

La composée de deux dérivations n'est plus une dérivation. Le théorème de Schwarz de l'analyse à plusieurs variables ne se généralise pas : si X et Y sont deux champs de vecteurs, les dérivées secondes X.(Y.f) et Y.(X.f) ne sont pas nécessairement égales. Ce défaut de commutation est à l'origine de la définition du crochet de Lie qui coïncide avec la dérivée de Lie des champs de vecteurs.

[modifier] Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs

[modifier] Définition par le crochet de Lie

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. Alors l'expression

${\mathcal L}_X{\mathcal L}_Y-{\mathcal L}_Y{\mathcal L}_X$

est une dérivation sur V, ce qui permet de parler du champ de vecteurs associé. On le note [X,Y] (crochet de Lie de X et Y), ou encore ${\mathcal L}_X Y$ (dérivée de Lie de Y selon X), de sorte que

${\mathcal L}_{[X,Y]}={\mathcal L}_{{\mathcal L}_X Y}={\mathcal L}_X{\mathcal L}_Y-{\mathcal L}_Y{\mathcal L}_X=-{\mathcal L}_{{\mathcal L}_Y X}$

qui se traduit, pour toute fonction indéfiniment différentiable f, par

${\mathcal L}_{[X,Y]}f=[X,Y]\cdot f = X\cdot (Y\cdot f) -Y \cdot (X\cdot f) ={\mathcal L}_X Y.f-{\mathcal L}_Y X.f$

Il définit en effet sur l'espace vectoriel des champs de vecteurs une structure d'algèbre de Lie.

En coordonnées locales, toujours dans le cadre des conventions d'Einstein

$[X,Y] ={\mathcal L}_XY= (X\cdot Y^a - Y\cdot X^a) \frac{\partial}{\partial x^a} = \left(X^b \frac{\partial Y^a}{\partial x^b} - Y^b \frac{\partial X^a}{\partial x^b}\right) \frac{\partial}{\partial x^a}$

[modifier] Définition en suivant le flot

Soit $ξ t$ le flot du champ de vecteurs X. Il est possible de transporter le vecteur Y à l'aide de l'application de flot, et d'en tirer la valeur de la dérivée de Lie

$[X,Y](p) ={\mathcal L}_XY(p)=\lim_{t\to 0} \frac1t\left(Y(p)-\xi_t^*Y(p)\right)$