Connexité (mathématiques)
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En mathématiques, la notion topologique de connexité formalise le concept d'«être d'un seul tenant ».
Sommaire |
[modifier] Définition
Soit un espace topologique . Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ;
n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
- Toute application continue
est constante.
Cette dernière caractérisation est souvent celle qui est la plus commode à utiliser pour démontrer un résultat de connexité.
Dans le cas où ces conditions sont remplies on dit que l'espace est connexe.
Une partie d'un espace topologique
est dite connexe si elle est un espace connexe lorsqu'elle est munie de la topologie induite.
Par exemple un singleton est connexe.
[modifier] Connexité et nombres réels
- L'ensemble des nombres réels
est connexe.
On montre d'abord que tout intervalle fermé borné est connexe. Soient en effet deux fermés non vides
et
formant une partition de
. Sur le compact
, la fonction continue
a un minimum strictement positif
, réalisé en
. Alors
. Mais
: sinon la distance de
à
serait
. De même,
. On aboutit donc à une contradiction.
Comme , on en déduit que
est connexe, en tant que réunion de parties connexes dont l'intersection n'est pas vide.
- Les parties connexes de
sont les intervalles. Un raisonnement analogue à celui montrant la connexité des nombres réels montre que les intervalles sont connexes. Considérons maintenant un ensemble
non vide qui ne soit pas un intervalle. il existe donc un élément
tel qu'il existe dans
au moins un élément plus petit et un élément plus grand que
. Alors
et
forment une partition en deux ouverts disjoints.
Par exemple n'est pas connexe.
[modifier] Propriétés
[modifier] Union, intersection, adhérence
Si et
sont deux parties connexes d'un espace topologique
, en général l'union et l'intersection de
et
ne sont pas connexes.
En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe si elles ont un point commun. Plus généralement, si est une suite de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante :
alors la réunion
est connexe.
Si est connexe, toute partie
telle que
est connexe (on a désigné par
l'adhérence de
).
[modifier] Composantes connexes
Étant donné un point dans un espace topologique
, on peut considérer la plus grande partie connexe contenant
, qui est aussi l'union des parties connexes contenant
. On la note
et on l'appelle composante connexe de
dans
.
Au minimum, on a ; c'est le cas ou
est un point isolé.
Au maximum, on a ; c'est le cas où
est connexe.
On définit une relation d'équivalence sur de la manière suivante : on dit que
et
sont connectés si et seulement si
. On note que cette relation équivaut à
.
Les classes d'équivalence pour cette relation sont appelées composantes connexes de ; ainsi tout espace topologique se décompose en union disjointe de plusieurs parties connexes.
Exemples :
a deux composantes connexes :
et
.
- Dans
tout point est isolé donc les composantes connexes sont les singletons.
- Dans
aucun point n'est isolé, mais les composantes connexes sont aussi les singletons. Le même phénomène se produit pour l'ensemble de Cantor
[modifier] Connexité et continuité
On sait caractériser les espaces connexes par le fait que toute fonction continue à valeurs dans est constante.
En fait, on peut dire plus généralement que l'image d'un espace connexe par une application continue est toujours connexe. Plus précisément si est un espace connexe,
un espace topologique et
une application continue, alors
est une partie connexe de
.
Dans le cas ou est
on obtient le théorème des valeurs intermédiaires : si
est un espace connexe et si une fonction continue
prend les valeurs
et
alors elle prend toute valeur
comprise entre
et
.
[modifier] Deux applications fondamentales
Pour montrer qu'une propriété est vraie pour tous les points d'une partie que l'on sait connexe, on montre que l'ensemble des points qui la satisfait est ouvert et fermé. C'est ce qu'on fait pour le théorème d'unicité global des solutions d'une équation différentielle, et pour le principe du prolongement analytique