Connexité simple

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En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ».

On formalise cela en disant que tout lacet tracé dans un espace simplement connexe doit pouvoir être réduit continûment (c'est-à-dire par homotopie) à un point.

Sommaire 1 Définition 2 Etude d'un cas concret 3 Exemples 4 Propriétés 5 Voir aussi

[modifier] Définition

Si est un espace topologique connexe par arcs, on dit qu'il est simplement connexe si tout lacet tracé sur est homotope à un point.

Intuitivement, on peut tirer sur le lacet pour le rétrécir jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un point, il n'y a pas d'obstacle (c'est-à-dire de trou).

On parle aussi de parties simplement connexes ; une partie d'un espace topologique est dite simplement connexe si, munie de la topologie induite, elle constitue un espace topologique simplement connexe.

Formulations équivalentes :

• On note le cercle unité et le disque unité. Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si toute fonction continue peut être prolongée en une fonction continue .

Autrement dit tout plongement d'un cercle dans peut être prolongé à un plongement du disque, intuitivement on peut « colorier » l'intérieur de toute boucle tracée dans .

• Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si tout couple de chemins tracés sur sont homotopes.

• Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.

[modifier] Etude d'un cas concret

La droite réelle , ainsi que tout intervalle de , est simplement connexe. Soit une application continue telle que . Considérons alors la famille de lacets définie par:

La fonction est continue ; si alors le lacet est égal à et si le lacet est réduit à un point. Nous avons donc démontré que le lacet est homotope à un point.

Dans le cas d'un intervalle il suffit de remarquer que:

Et donc tout lacet de la famille est bien définie dans l'intervalle. Nous avons donc démontré que tout lacet simple de ou d'un de ses intervalles est homotope à un point.

[modifier] Exemples

Sont simplement connexes :

• le plan complexe et plus généralement tout espace vectoriel normé ;
• le disque  ;
• toute partie convexe ou étoilée d'un espace vectoriel normé ;
• la sphère  ;
• une assiette, un verre, une fourchette.

Ne sont pas simplement connexes :

• et plus généralement tout espace non-connexe ou non-connexe par arcs ;
• l'ensemble des nombres complexes non-nuls ;
• le cercle  ;
• le tore (ou « donut ») ;
• le ruban de Möbius et la bouteille de Klein ;
• une tasse, une passoire, un fouet de cuisine.

[modifier] Propriétés

(à compléter)

[modifier] Voir aussi

• Connexité
• Connexité par arcs
• Homotopie
• Topologie algébrique