Przestrzeń spójna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spójność to pojęcie topologiczne. Intuicyjnie jest to własność polegająca na "składaniu się z jednego kawałka".

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Zbiory spójne
2 Przykłady
3 Własności przestrzeni spójnych
4 Pojęcia pokrewne
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Formalnie, przestrzeń topologiczna nazywa się spójna, jeśli nie da się jej przedstawić jako sumy dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych.

Ponieważ dopełnieniem zbioru otwartego w przestrzeni topologicznej jest zbiorem domkniętym, zbiory o których mowa w definicji są jednocześnie domknięte. Tak więc przestrzeń jest spójna, jeśli nie da się jej przedstawić jako sumy dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów domkniętych.

Wynika stąd, że jedynymi zbiorami otwartymi i jednocześnie domkniętymi w przestrzeni spójnej są zbiór pusty i cała przestrzeń – własność tę również można przyjąć jako określenie spójności.

Jeżeli przestrzeń topologiczna $X$ jest sumą dwóch niepustych rozłącznych zbiorów otwartych ( $X= A \cup B$ ), to funkcja $f:X\to \{0,1\}$ , $f(A)=\{1\},\, f(B)=\{0\}$ jest ciągły; odwrotnie, jeżeli $f:X\to \{0,1\}$ jest ciągła, to zbiory $f - 1 (0)$ i $f - 1 (1)$ są jednocześnie domknięty i otwarty. Wynika stąd, że przestrzeń $X$ jest niespójna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciągła suriekcja $f:X\to \{0,1\}$ .

[edytuj] Zbiory spójne

Dany zbiór w przestrzeni topologicznej nazywamy spójnym, gdy traktowany jako przestrzeń jest przestrzenią spójną.

[edytuj] Przykłady

Zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią spójną. Każdy przedział liczbowy jest przestrzenią spójną. Zbiór liczb zespolonych jest przestrzenią spójną. Dla dowolnego n, przestrzeń euklidesowa Rⁿ jest przestrzenią spójną. Poniższy rysunek pokazuje trzy zbiory spójne.

Torus jest zbiorem spójnym, podobnie sfera.

[edytuj] Własności przestrzeni spójnych

Oto podstawowe własności przestrzeni spójnych:

Obraz przestrzeni spójnej przez funkcję ciągłą jest przestrzenią spójną.
- W szczególności: obrazem przedziału przez funkcję rzeczywistą ciągłą jest zawsze przedział.
Każda funkcja rzeczywista ciągła na przestrzeni spójnej ma własność Darboux. Oznacza to, że jeśli funkcja taka przyjmuje jako swe wartości liczby a < b, to przyjmuje też jako wartość każdą liczbę c zawartą między a i b.
Suma dwóch zbiorów spójnych mających niepustą część wspólną jest zbiorem spójnym.
- Jeżeli "skleimy" dwa spójne przedmioty w ten sposób, że nachodzą na siebie, to otrzymany przedmiot też będzie spójny.
- Część wspólna dwóch zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym.
Iloczyn kartezjański dowolnej rodziny przestrzeni spójnych jest przestrzenią spójną.

[edytuj] Pojęcia pokrewne

[edytuj] Składowa punktu

Składową punktu nazywamy maksymalny zbiór spójny, zawierający dany punkt. Przestrzeń na rysunku poniżej ma cztery składowe. Składową punktu x jest zbiór D.

Przestrzeń jest spójna, gdy ma tylko jedną składową. Przestrzeń, której każda składowa składa się z jednego punktu nazywamy całkowicie niespójną. Przykładem takiej przestrzeni jest zbiór liczb naturalnych lub wymiernych z naturalną topologią metryczną.

[edytuj] Continuum

Continuum to przestrzeń spójna i zwarta. Przykłady continuów to odcinek domknięty, koło, okrąg, kwadrat, sześcian.

Obraz continuum przez dowolną funkcję ciągłą jest continuum.
- W szczególności obraz continuum przez funkcję ciągłą rzeczywistą jest punktem lub odcinkiem domkniętym.

[edytuj] Przestrzeń łukowo spójna

Przestrzeń nazywamy łukowo spójną, jeżeli dowolne dwa jej punkty można połączyć łukiem. Każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna, lecz nie na odwrót - zobacz: zbiór łukowo spójny. Jednakże w przypadku otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowej oba pojęcia pokrywają się.

[edytuj] Przestrzeń lokalnie spójna

Przestrzeń nazywamy lokalnie spójną, gdy ma bazę złożoną ze zbiorów spójnych.

[edytuj] Przestrzeń lokalnie łukowo spójna

Przestrzeń nazywamy lokalnie łukowo spójną, gdy ma bazę złożoną ze zbiorów łukowo-spójnych. Ciekawe jest następujące twierdzenie:

Każde continuum, które jest przestrzenią metryczną lokalnie łukowo spójną jest obrazem odcinka [0, 1] przez pewną funkcję ciągłą.
- Wynika stąd na przykład, że istnieje funkcja ciągła z odcinka [0, 1], której obrazem jest dowolny kwadrat na płaszczyźnie wraz z brzegiem! Funkcję taką można skonstruować i bez opierania się na tym twierdzeniu - zobacz krzywa Peano.