Congruence

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Derrière le terme de congruence se cachent des notions semblables mais de niveaux d'abstraction différents. Historiquement, le terme de congruence nait sous la plume de Gauss pour l'ensemble des entiers relatifs.

• En arithmétique modulaire, on dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo p s'ils ont même reste dans la division euclidienne par p. On peut aussi dire qu'ils sont congrus modulo p si leur différence est un multiple de p.
• La relation de congruence est notée par trois traits horizontaux(≡), suivi du modulo entre crochets.

Exemple : 12 est congru à 2 modulo 5 (12 ≡ 2 [5]) car 12 et 2 ont le même reste après division euclidienne par 5.

• Dans la mesure des angles orientés, on dit que deux mesures sont congrues modulo 2π si et seulement si leur différence est un multiple de 2π. Cela caractérise deux mesures d'un même angle.

• En algèbre, on parle
  • de congruence modulo I dans un anneau commutatif (R, +, *) dont I est un idéal :

x est congru à y modulo I si et seulement si x - y appartient à I.

Cette congruence est une relation d'équivalence, compatible avec les opérations + et * et permet de définir un anneau quotient R/I.

Les deux notions précédentes deviennent alors des cas particuliers de cette définition plus générale.

• • de congruence modulo H dans un groupe G quand H est un sous-groupe de G.

x est congru à y modulo H si et seulement si appartient à H.

Cette relation est une relation d'équivalence permettant de construire un ensemble quotient qui, si H est un sous-groupe distingué, est un groupe quotient

• • de congruence dans un semi-groupe (G,*) pour toute relation d'équivalence compatible avec la loi *. Cette définition est alors plus large que la précédente mais on ne parle alors plus de congruence modulo ...
• On trouve parfois, dans des ouvrages inspirés de la langue anglo-saxonne, le terme de congru mis à la place de semblable. Il s'agit alors d'une simple relation d'équivalence sur l'ensemble des figures planes.
• En psychothérapie, congruence est le terme employé par Carl Rogers pour indiquer une correspondance exacte entre l'expérience et la prise de conscience.