Similitude
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Vous avez de En géométrie, une similitude est une transformation qui conserve les rapports de distances.
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[modifier] Généralités
[modifier] Définition
L'ensemble des similitudes contient l'ensemble des isométries, l'ensemble des homothéties et leurs composées.
La propriété concrète qui caractérise les similitudes est la conservation de la forme, mais pas forcément de l'échelle : elles font se correspondre des figures dites semblables. Les distances sont multipliées par un réel positif k, appelé rapport de similitude.
Les similitudes conservent les barycentres et les cercles. Réciproquement, toute transformation bijective du plan qui conserve les cercles est une similitude.
Les similitudes planes se répartissent en deux catégories : les similitudes directes conservant les angles orientés et les similitudes indirectes les renversent. La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe.
[modifier] Théorèmes
- Une similitude plane qui admet trois points fixes non alignés est l'identité du plan.
- Une similitude plane qui admet deux points fixes distincts A et B est soit l'identité du plan, soit la symétrie axiale d'axe (AB).
[modifier] Similitudes planes directes
[modifier] Définition
Les différentes similitudes directes sont l'identité du plan, les rotations, les translations, les homothéties ou une composée des applications précédemment citées.
Mises à part les translations, toute similitude plane directe peut être décomposée en une homothétie et en une rotation de même centre. Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée déplacement.
[modifier] Forme complexe
Les calculs sont adaptés au plan complexe. La traduction d'une similitude directe s'y exprime par z' = az + b, où a et b sont des complexes, a non nul. Le rapport de la similitude est alors | a | , son angle arg(a). Dans le cas où a = 1, la similitude est une translation.
[modifier] Propriétés
- Soient A, B, A', B' quatre points du plan tels que : A≠B et A'≠B'. Il existe une unique similitude directe s tel que s(A) = A' et s(B) = B'.
- S(Ω,k,θ) ° S(Ω,k',θ') = S(Ω,kk',θ+θ')
- S-1(Ω,k,θ) = S(Ω,1/k,-θ)
[modifier] Similitudes planes indirectes
[modifier] Définition
Les similitudes indirectes sont les symétries axiales, les symétries glissées et les composées d'une homothétie et d'une réflexion dont l'axe passe par le centre d'homothétie. Une isométrie qui inverse les angles orientés est appelée antidéplacement.
[modifier] Forme complexe
La traduction d'une similitude indirecte s'exprime par 
, où a et b sont complexes, a non nul.
