Autocorrélation

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L'autocorrélation est un outil mathématique souvent utilisé en traitement du signal. C'est la corrélation croisée d'un signal par lui-même. L'autocorrélation permet de détecter des régularités, des profils répétés dans un signal comme un signal périodique perturbé par beaucoup de bruit, ou bien une fréquence fondamentale d'un signal qui ne contient pas effectivement cette fondamentale, mais l'implique avec plusieurs de ses harmoniques.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Statistiques
- 1.2 Traitement du Signal
2 Propriétés
3 Applications

[modifier] Définitions

Différentes définitions de l'autocorrélation sont utilisées en fonction du champ d'étude considéré, et toutes ne sont pas équivalentes. Dans certaines disciplines on parle sans distinction d'autocovariance.

[modifier] Statistiques

En statistique, l'autocorrélation de série temporelle discrète ou de processus X_t est simplement la corrélation du processus par rapport à une version décalée dans le temps de lui-même. Si X_t est un processus stationnaire avec la moyenne μ alors la définition est

$R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2}$

où E est l'espérance mathématique et k est le décalage temporel. C'est une fonction à valeur dans l'intervalle [−1, 1] avec 1 indicant une parfaite corrélation (Les signaux se recouvrent exactement quand le temps est décalé de k) et −1 indicant une parfaite anti-corrélation. Il est d'usage pratique dans de nombreuses disciplines de tracer la normalisation par σ² et d'utiliser le terme autocorrelation sans distinction avec celui d'autocovariance.

[modifier] Traitement du Signal

En traitement du signal, pour un signal donné f(t), l'autocorrélation continue R_f(τ) est la corrélation croisée continue de f(t) avec elle-même, à l'intervalle de temps τ, et est définie comme:

$R_f(\tau) = f^*(-\tau) \circ f(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt$

où f^* représente le conjugé complexe et le cercle représente l'opération de convolution. Pour une fonction réelle, f^* = f.

Formellement, l'autocorrélation discrète R pour l'intervalle de temps j et le signal x_n est

$R(j) = \sum_n (x_n-m)(x_{n-j}-m) \,$

où m est la valeur moyenne (valeur attendue) de x_n. Souvent, les autocorrélations sont calculées pour un signal centré sur zéro. c'est-à-dire un signal dont la valeur moyenne est nulle. L'autocorrelation est alors définie par

$R(j) = \sum_n x_n x_{n-j}.\,$

L'autocorrélation multi-dimensionelle est definie similairement. Par exemple, en trois dimensions l'autocorrelation devient

$R(j,k,\ell) = \sum_{n,q,r} (x_{n,q,r}-m)(x_{n-j,q-k,r-\ell}-m).$

[modifier] Propriétés

Dans ce qui suit, nous décrirons les propriétés d'autocorrélation uni-dimensionnelle uniquement, puisque la plupart des propriétés sont facilement déduites du cas à une dimension aux cas multidimensionnels.

Une propriété fondamentale de l'autocorrélation est la symétrie, R(i) = R(−i), ce qui se démontre à partir de la définition. Dans un cas continu, l'autocorrélation est même une fonction

$R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,$

quand f est une fonction réelle, et une fonction Hermitienne

$R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,$

quand f est une fonction complexe.

La fonction continue d'autocorrélation atteint son pic à l'origine, où elle prend une valeur réelle. C'est à dire que pour tout délai τ, $|R_f(\tau)| \leq R_f(0)$ . C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Le même résultat est obtenu pour un cas discret.

L'autocorrélation d'une fonction périodique est, elle-même, périodique avec exactement la même période.

L'autocorrélation de la somme de deux fonctions totalement non-corrélées (la corrélation croisée est zero pour tout τ) est la somme des autocorrélations de chacune des fonctions.

Puisque l'autocorrélation est un type spécifique de corrélation croisée, elle conserve toutes les propriétés de la corrélation croisée.

L'autocorrélation d'un bruit blanc aura un pic important à τ = 0 et sera proche de 0 pour tout autre τ. Cela montre qu'un enregistrement de bruit blanc à un certain moment n'est pas corrélé statistiquement à un enregistrement du même bruit blanc à un autre moment.

Le théorème de Wiener-Khinchin rapporte la fonction d'autocorrélation à la densité spectrale de puissance par la transformée de Fourier:

$R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df$

$S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.$

[modifier] Applications

La mesure du spectre optique et la mesure de flash lumineux de très courte durée produit par laser, en utilisant un autocorrelateur optique.

En optique, l'autocorrélations normalisée et la corrélations croisée donne le degré de cohérence d'un champ électromagnétique.

En traitement du signal, l'autocorrélation peut donner une information sur des événements répétés tels que les battements musicaux ou les frequences de pulsar, même si cela ne peut pas donner la position dans le temps du battement.

L'exemple suivant montre le signal d'un fichier sonore MIDI Le Beau Danube bleu (à gauche), et son autocorrélation (seulement les 4 premières secondes).

Signal original, du Le Beau Danube bleu.

L'autocorrélation du signal (les quatre premières secondes).

L'autocorrélation, utilisée précédemment comme intermédiaire dans le calcul d'une densité spectrale, est aujourd'hui abandonnée au profit de la transformation de Fourier rapide (voir aussi Analyse spectrale pour des considérations élémentaires).

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Catégories : Statistiques • Traitement du signal • Processus stochastique • Analyse harmonique