Corrélation

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La corrélation est, dans son acception commune, la relation existant entre deux notions ou concepts dont l'un ne peut être pensé sans l'autre. C'est une relation nécessaire, qu'elle soit de dépendance ou d'exclusion logique : elle se rapproche de l'opposition dans le second cas.

Deux termes en corrélation sont appelés des corrélatifs. Le terme désigne également les termes d'une phrase assurant la relation logique entre la proposition principale et la subordonnée (autant... que, suffisamment... pour, etc.).

[modifier] Sens dérivés

En linguistique, une paire corrélative est une paire de phonèmes dans un rapport d'opposition entre eux, et par rapport aux autres phonèmes.

En sciences, on parle de corrélation quand, pour quantifier deux mesures, on doit faire appel à une loi où l'un des facteurs dépend de l'autre. Cela signifie que les deux facteurs varient simultanément, si un seul varie au départ. Corrélation n'est pas synonyme de causalité au sens strict, car la relation peut également trouver son origine dans une cause commune, ou dans une corrélation fortuite. La relation de proportionnalité est une relation de corrélation. Il ne faut pas non plus confondre corrélation et Dépendance (mathématiques) : deux variables aléatoires indépendantes ont une corrélation nulle, mais deux variables ayant une corrélation nulle ne sont pas forcément indépendantes.

La corrélation linéaire (ou corrélation de Pearson est définie pour des couples de variables aléatoires de variances finies par $r(X,Y)=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}$ soit encore $r(X,Y)=\frac{\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y)))}{\sqrt{\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^2)} \sqrt{\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y))^2)}}$ . De cette dernière expression, on en déduit la version empirique pour un échantillon $\mathcal{}(X_1,Y_1),...,(X_n,Y_n)$ indépendant et identiquement distribué, à savoir $\hat{r}_n(X,Y)=\frac{\sum (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sqrt{\sum(X_i-\overline{X})^2} \sqrt{\sum(Y_i-\overline{Y})^2}}$ , où $\overline{X}$ et $\overline{Y}$ désignent les moyennes empiriques, c'est à dire $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$ (et respectivement pour $\overline{Y}$ ).

L'inégalité de Schwarz permet de montrer que $r(X,Y)\in [-1,+1]$ , mais ces bornes ne sont que rarement atteintes. En effet, $\mathcal{}r(X,Y)=+1$ si et seulement si $\mathcal{}X=aY+b$ , avec $\mathcal{}a>0$ . En fait, il est possible de montrer que $r(F_X^{-1}(U),F_X^{-1}(1-U))\leq r(X,Y) \leq r(F_X^{-1}(U),F_X^{-1}(U))$ où $\mathcal{}U$ est uniformément distribué sur $\mathcal{}[0,1]$ .

La corrélation des rangs (ou corrélation de Spearman d'un couple $\mathcal{}(X,Y)$ est définie pour comme la corrélation empirique du couple $\mathcal{}(F_X(X),F_Y(Y))$ . Il est possible de montrer que cette mesure de dépendance s'écrit en fonction de la copule du couple $\mathcal{}(X,Y)$ . $\rho(X,Y)=r(F_X(X),F_Y(Y))=12\int\int C(u,v) dudv -4$ .