Vektori

Wikipedia

Vektori on vektoriavaruuden alkio, joka on toisaalta n:n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä n ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on 1. Tämä määritelmä sopii eksakteihin luonnontieteisiin.

Geometrisesti nollavektorista poikkeavilla vektorilla on suunta ja pituus (vertaa jana). Nollavektorin suunta on määräämätön ja pituus 0. Fysiikassa mm. nopeus on vektorisuure ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari.

Biologiassa ja lääketieteessä vektori tarkoittaa tartunnanlevittäjää tai -välittäjää, esim. virusvektorit.

Sisällysluettelo

1 Yleinen vektori
- 1.1 Yleisiä laskutoimituksia
2 Perusavaruuksien vektorit
- 2.1 Reaaliavaruuden laskutoimituksia
3 Aiheesta muualla

[muokkaa] Yleinen vektori

Vektoria merkitään usein

$a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix},$

jossa kaikki alkiot $a_i,~i = 1,..,n$ kuuluvat johonkin matemaattiseen avaruuteen. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavaktoreina muodossa $a = \Big(a_1,a_2,...,a_n \Big)$ tai tulkitaan matriisin transpoosiksi $a = [a_1,a_2,...,a_n]^{\mathbf{T}}$ . Vektorit kirjoitetaan matematiikassa yleensä lihavoiduilla kirjaimilla ja fysiikassa vektorinuolien avulla: $\mathbf{a}$ ja $\vec{a}$

Alkioiden on kuuluttava samaan avaruuteen. Jos halutaan määrittää esimerkiksi vektori

$\begin{bmatrix} 10 \\ 5 + 1i\\ kukka \\ opiskelija \end{bmatrix},$

on ensiksi määriteltävä joukko, johon kyseiset vektorin komponentit kuuluvat. Nyt tämä joukko voidaan varustaa vektoriavaruuden struktuurilla, mikäli alkiot saadaan toteuttamaan vektoriavaruuden laskulait. Vektorit ovat vektoriavaruuden alkioita, joten vektoreita ei voida siten määrittää kaikissa avaruuksissa. Tyypillisempi tapaus saattaisi olla jonkin dynaamisen systeemin tilaa kuvaava tilavektori, jossa ensimmäinen alkio on oman auton paikka, toinen nopeus, kolmas kiihtyvyys, neljäs naapurin auton paikka, jne. Tällöin tilavektoria voitaisiin merkitä

$\begin{bmatrix} x_1 \\ \dot{x}_1\\ \ddot{x}_1 \\ x_2 \\ \dot{x}_2\\ \ddot{x}_2 \\ \vdots \end{bmatrix}$

[muokkaa] Yleisiä laskutoimituksia

Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden $\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb{V}$ summa:

$\mathbf x +\mathbf y$

sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen $c \in \mathbb{A}$ :

$c\mathbf x$

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys

$\left| \left| \mathbf x \right| \right|$ .

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.

Voidaan myös määritellä pistetulo

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos(\theta)$ ,

missä $θ$ on vektoreiden välinen kulma. Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle$ ,

sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.

[muokkaa] Perusavaruuksien vektorit

Jos kaikki n-ulotteisen vektorin

$\mathbf{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix}$

alkiot $a i$ ovat reaalilukuja ts. $\forall \left\{1,2,...,n\right\}: a_{i} \in\mathbb{R}$ , niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ .

Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat komplesilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli $\mathbf{a} \in \mathbb{C}^n$

Jos vektori kuuluu avaruuteen $\mathbb{R}^2$ voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin

$\mathbf{a}= \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix}$

kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden $\mathbb{R}^3$ vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.

[muokkaa] Reaaliavaruuden laskutoimituksia

Reaaliavaruudessa $\mathbb{R}^3$ (ja samalla myös avaruuden $\mathbb{R}^2$ ) vektoreiden $\mathbf{x, y} \in \mathbb{R}^3$ laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.

[muokkaa] Pituus eli normi

$\left| \left| \mathbf x \right| \right| := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ , jossa alkiot

x 1, x 2, x 3

ovat vektorin x alkioita.

[muokkaa] Skalaaritulo eli pistetulo

Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan $n$ -ulotteisen avaruuden vektoreille

$\langle\mathbf x , \mathbf y \rangle = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \cos \theta = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$ , kun $\mathbf{x, y}\ne \mathbf{0}$ , missä

θ

on vektoreiden x ja y välinen kulma.

[muokkaa] Vektoritulo eli ristitulo

Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan $\mathbb{R}^3$ :n vektoreille

$\mathbf{x} \times \mathbf{y} := \mathbf{e} \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \sin \theta$

missä e on vektoreita x ja y vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi $\left| e \right| = 1$ ) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston.

Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ määriteltyjen vektoreiden $\mathbf x$ ja $\mathbf y$ ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:

$\mathbf x = a \mathbf i + b \mathbf j + c \mathbf k$

$\mathbf y = d \mathbf i + e \mathbf j + f \mathbf k$

$\mathbf{x} \times \mathbf{y} =\mathrm{det}\begin{bmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} = bf\mathbf i + cd\mathbf j + ae\mathbf k - ce\mathbf i - af\mathbf j - bd\mathbf k$