Ulottuvuus

Wikipedia

Ulottuvuus eli dimensio on topologista avaruutta kuvaava matemattinen käsite, joka voidaan määritellä usealla eri tavalla.

Algebrallinen dimensio kertoo vektoriavaruuden kannan mahtavuuden.

Metrinen dimensio perustuu toisistaan yhtä kaukana sijaitsevien pisteiden lukumäärään. Yhdessä ulottuvuudessa näitä on kaksi, kahdessa kolme ja n:ssä n + 1 kpl. Määritelmä toimii vain metrisessä avaruudessa.

Lebesguen dimensiota sovelletaan avoimessa ympäristössä, jonka alipeitteeseen valitaan avoimia joukkoja s.e. mikään piste ei kuulu useampaan joukkoon kuin on välttämätöntä ympäristön peittämiseksi. Niiden joukkojen lukumäärä johon tuo piste kuuluu, on ympäristön dimensio +1. Lebesguen dimensio on aina kokonaisluku.

Hyvin epäsäännöllisillekin metrisille avaruuksille voidaan määrittää Hausdorffin dimensio, joka ei välttämättä ole kokonaisluku (itse asiassa fraktaalit ovat juuri niitä avaruuksia, joiden Hausdorffin dimensio on murtoluku). Avaruus peitetään avoimilla palloilla ja tarkastellaan kuinka nopeasti pallojen määrää on kasvatettava, jotta niiden säteen puolittuessa ne edelleen peittävät tutkittavan avaruuden (helpohko esimerkki on von Kochin lumihiutale).

[muokkaa] Kirjallisuutta

• Kaku, Michio (1996): Hyperavaruus. (Alkuteos: Hyperspace: A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the Tenth Dimension, 1995.) Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House. ISBN 951-884-192-6.