Vector (física)

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Para otros usos de este término, véase vector.

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El concepto matemático de vector se utiliza en física para describir magnitudes tales como posición, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momento lineal, etc. En las cuales es importante considerar no sólo el valor sino también la dirección y el sentido.

Se representa por un segmento orientado para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la longitud de la flecha) y el punto de donde parte. Para este tipo de vectores (generalmente de 2 o 3 dimensiones) se toman los conceptos de dirección y sentido.

Tabla de contenidos

1 Definición coloquial.
2 Representación vectorial
- 2.1 Convenio de representación
- 2.2 Propiedades de un vector
3 Operaciones con vectores
4 Véase también
5 Enlaces externos

[editar] Definición coloquial.

En el centro de una llanura hay dos coches. En un instante dado salen los dos a velocidad lineal constante de 30 y 40 km/h. Al cabo de una hora, ¿cuál es la distancia entre los dos coches?.

- Si los dos coches llevan la misma dirección y mismo sentido, la distancia será de 10 Km.

- Si salen en la misma dirección y sentidos contrarios, la distancia será de 70 Km.

- Si toman direcciones perpendiculares, la distancia será de 50 Km.

- etc.

Cual es la verdadera respuesta; el problema tiene infinitas soluciones, que es lo que pasa realmente.

Hay magnitudes escalares, como la masa o la temperatura, que se definen con un solo número, pero hay otras como la velocidad, que si decimos únicamente su valor, no estamos dando toda la información; es necesario además una dirección y un sentido, veamos.

En el centro de una llanura hay dos coches. En un instante dado salen los dos a velocidad lineal constante, uno a 30 Km/h dirección norte, y el otro 40 km/h dirección noreste. Al cabo de una hora, ¿cuál es la distancia entre los dos coches?.

Un vector, puede designarse por su módulo, dirección y sentido, o también por sus coordenadas en una base del espacio vectorial.

[editar] Representación vectorial

Un vector físico, corresponde a la estructura matemática llamada espacio vectorial, pero por razones practicas, y para simplificar las operaciones, se toma siempre una base ortonormal, esto es un espacio euclídeo.

Cualquier vector que consideremos es siempre una combinación lineal de unos vectores unitarios perpendiculares entre si, que forman la base del espacio vectorial en cuestión.

Estos vectores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por $\vec{u}_x$ , $\vec{u}_y$ , $\vec{u}_z$ , si bien es también usual representarlos como $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ , siendo $\hat{i}$ el vector unitario según el eje de la x, $\hat{j}$ el vector unitario en el eje de las y, y $\hat{k}$ en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se tomas dos de estos versores los que correspondan a los ejes de coordenadas adoptados.

Este sistema de referencia es un sistema de coordenadas cartesianas a todos los efectos.

[editar] Convenio de representación

Por convenio representaremos las variables escalares con una letra: a, x, p, ..., y los vectores con una flecha encima: $\vec{a}$ , $\vec{x}$ , $\vec{p}$ , ..., las coordenadas del vector en el sistema de referencia entre paréntesis y separadas con comas:

$\vec{a} = (x, y, z)$

o como combinación de los versores:

$\vec{a} = x \hat{i}+ y \hat{j} + z \hat{k}$

Estas dos representaciones son equivalentes entre sí, y los valores x, y, z, son las coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como números reales.

[editar] Propiedades de un vector

- Punto de aplicación, es el origen del segmento.

- Módulo, expresa el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa por la longitud del segmento, siempre en valor absoluto. Por ejemplo, si se quiere expresar que el módulo de $\vec{a}$ vale 5 unidades, se hace así: $|\vec{a}|=5u$ .

- Dirección, que es la del segmento. A la recta que contiene el vector se le llama línea de acción.

- Sentido, distinguiéndose dos sentidos sobre la recta de aplicación del vector.

Se dice que dos vectores son concurrentes cuando tienen el mismo punto de aplicación.

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a $\vec{a}$ es $-\vec{a}$ .

Expresado con fórmulas, dado un vector $\vec{r}$ de coordenadas (x, y, z) ( $\vec{r}=(x,y,z)$ ) su módulo es $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ . Su dirección está dada por la recta que contiene a dicho vector, y su sentido puede ser "hacia un lado" o "hacia el otro".

[editar] Operaciones con vectores

[editar] Suma de vectores

Suma de vectores

La suma y la resta de vectores tiene en cuenta, además de la magnitud escalar o módulo, el sentido de las magnitudes intervinientes.

Partiendo de la representación gráfica de dos vectores, la suma de ambos se consigue colocando el punto de aplicación del segundo vector, a continuación de la flecha del primero, el vector resultante es el que parte del punto de aplicación del primero hasta el final de la flecha del segundo.

Analíticamente, partiendo de las coordenadas de los dos vectores:

$\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$

$\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$

El vector suma será:

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x, a_y, a_z) + (b_x, b_y, b_z)$

agrupando:

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$

Representando los vectores como combinación lineal de versores tenemos:

$\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$

$\vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k}$

El resultado de la suma es:

$\vec{a}+ \vec{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) + (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})$

ordenando los componentes:

$\vec{a}+ \vec{b} = (a_x + b_x) \hat{i} + (a_y + b_y) \hat{j} + (a_z + b_z) \hat{k}$

Pongamos un ejemplo numérico:

$\vec{a} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 4 \hat{k}$

$\vec{b} = -4 \hat{i} + 6 \hat{j} -2 \hat{k}$

el resultado:

$\vec{a}+ \vec{b} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 4 \hat{k}) + (-4 \hat{i} + 6 \hat{j} -2 \hat{k})$

agrupando términos:

$\vec{a}+ \vec{b} = (3 - 4) \hat{i} + (5 + 6) \hat{j} + (-4 - 2) \hat{k}$

esto es:

$\vec{a}+ \vec{b} = - \hat{i} + 11 \hat{j} - 6 \hat{k}$

[editar] Producto por un escalar

Producto por un escalar

Multiplicar un vector por un escalar es tomar el vector tantas veces como indique el escalar, esto es valido también en los casos en los que el escalar es fraccionario o negativo.

Si partimos de la representación gráfica del vector, y sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, el resultado es el producto del vector por este escalar, si el signo del escales es negativo, es sentido del vector será el opuesto al original.

Partiendo de un escalar $n \,$ y de un vector $\vec{a}$ , el producto de $n \,$ por $\vec{a}$ es $n \, \vec{a}$ , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:

$\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$

si lo multiplicamos por el escalar n:

$n \cdot \vec{a} = n \cdot (a_x, a_y, a_z)$

esto es:

$n \cdot \vec{a} = (n \cdot a_x, n \cdot a_y, n \cdot a_z)$

Representando el vector como combinación lineal de los versores:

$\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$

y multiplicándolo por un escalar n:

$n \cdot \vec{a} = n \cdot (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k})$

esto es:

$n \cdot \vec{a} = n \cdot a_x \hat{i} + n \cdot a_y \hat{j} + n \cdot a_z \hat{k}$

Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos del vector:

$\vec{a} = 3,2 \hat{i} - 1,27 \hat{j} + 6 \hat{k}$

y multiplicamos el vector por 2,5:

$2,5 \cdot \vec{a} = 2,5 \cdot (3,2 \hat{i} - 1,27 \hat{j} + 6 \hat{k})$

esto es:

$2,5 \cdot \vec{a} = 2,5 \cdot 3,2 \hat{i} + 2,5 \cdot (- 1,27) \hat{j} + 2,5 \cdot 6 \hat{k}$

haciendo las operaciones:

$2,5 \cdot \vec{a} = 8 \hat{i} - 3,175 \hat{j} + 15 \hat{k}$

[editar] Producto escalar

Producto escalar

[editar] Producto vectorial

Producto vectorial

[editar] Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

$\vec{a}(t)= a_x(t) \hat{i} +a_y(t) \hat{j} +a_z(t) \hat{k}$

Podemos calcular la derivada de a respecto de t, para cada una de sus componentes, como si de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas:

$\frac{d}{dt}\vec{a}(t)= \frac{d}{dt}a_x(t) \hat{i} + \frac{d}{dt}a_y(t) \hat{j} + \frac{d}{dt}a_z(t) \hat{k}$

$\vec{e}(t) = Sen(t) \hat{i} + Cos(t) \hat{j} + 5t \hat{k}$

Para calcular esta derivación hay que tener en cuenta que los versores son constantes en módulo dirección y sentido, cuando se deriva sobre un sistema de referencia en movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partamos de una función vectorial:

$\vec{e}(t) = Sen(t) \hat{i} + Cos(t) \hat{j} + 5t \hat{k}$

Esta función representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que ésta es la trayectoria de una partícula y la función determina el vector de posición en función del tiempo. Si derivamos, tendremos:

$\frac{d}{dt}\vec{e}(t) = \frac{d}{dt}Sen(t) \hat{i} + \frac{d}{dt}Cos(t) \hat{j} + \frac{d}{dt}5t \hat{k}$

Realizando la derivada:

$\frac{d}{dt}\vec{e}(t) = Cos(t) \hat{i} - Sen(t) \hat{j} + 5 \hat{k}$

La derivada de la posición respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos decir:

$\vec{V}(t) = Cos(t) \hat{i} - Sen(t) \hat{j} + 5 \hat{k}$

Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partícula es un vector paralelo a este, en el punto donde se encuentra la partícula en ese mismo momento. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración, como era fácil de suponer.

[editar] Otras operaciones

[editar] Módulo resultante

Dados dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , de módulos conocidos y que forman el ángulo $θ$ entre sí, se puede obtener el módulo $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ con la siguiente fórmula:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }$

[editar] Deducción de la expresión

Sean dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ que forman un ángulo $θ$ entre sí:

La fórmula para calcular $\left| \vec{a} + \vec{b} \right|$ se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

$O B 2 = O C 2 + C B 2$

$OB = | \vec{a} + \vec{b} |$

$OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.$

Resultando:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2 + CB^2$

En el triángulo ACB :

$\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta$

$AC = | \vec{b} | \cos \theta$

$\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta$

$CB = | \vec{b} | sen \theta$

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos \theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left| \vec{b} \right|^2 sen^2 \theta$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta + sen^2 \theta \right)$

$\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2$