Wektor

Z Wikipedii

Wektor – wielkość w matematyce i fizyce, której pierwowzorem był odcinek skierowany, czyli uporządkowana para punktów, opisujący przesunięcie w przestrzeni. Według tego pierwowzoru wektor można opisać podając dość ogólnie rozumianą "wartość" i "kierunek" w przestrzeni. Kierunek wektora to prosta, na której położony jest wektor. Podanie kierunku odpowiada opisaniu położenia prostej w przestrzeni, co w zależności od rodzaju przestrzeni można zrobić na wiele sposobów...

W matematyce pojęcie to uległo daleko idącej generalizacji i obejmuje wszystkie wielkości spełniające pewien zestaw aksjomatów. Aksjomaty te określają przestrzeń wektorową, a wektor to po prostu element tej przestrzeni. W szczególności typowymi wektorami w matematyce są nie tylko elementy przestrzeni euklidesowej , ale także np. ciągi w klasie ciągów sumowalnych albo funkcje w przestrzeni funkcji ciągłych.

Fizyka używa wektorów do opisu przesunięć i rozmaitych wielkości z nim związanych, np. prędkość, przyspieszenie, momet obrotowy, moment pędu. Również bardziej abstrakcyjne wielkości fizyki kwantowej, takie jak np. spin niektórych cząstek elementarnych są opisywane wektorami.

Podstawowym przykładem wektora jest przesunięcie i wynikająca z niego prędkość poruszającego się punktu. Wielkości te są związne z przestrzenią, a nie z wielkościami opisującymi ją: aby w pełni określić prędkość należy w danym układzie odniesienia podać jej wartość (zwaną czasem szybkością), kierunek oraz zwrot wektora. Określenie "ucieka z szybkością 180 km/h autostradą A1 w kierunku do Gdańska" niesie ze sobą te właśnie informacje – mamy tu wartość (180 km/h), kierunek (autostrada A1) i zwrot (na Gdańsk). Naturalnym układem odniesienia jest tu powierzchnia ziemi, względem której podajemy szybkość, kierunek i zwrot. Brak któregokolwiek elementu powoduje, że opis ruchu nie jest pełny. Prędkość można też określić podając jej współrzędne, czyli zespół liczb związany z osiami układu współrzędnych.

Wektor opisujący wymienione wyżej przesunięcie lub prędkość, opisywane w różnych układach współrzędnych zmienia się tak jak zmienia się określenie położenia punktu względem innego punktu w tych układach; można to uznać za kryterium bycia wektorem. Innymi słowy, wektor to obiekt który jest niezmienniczy względem przesunięcia prostokątnego układu współrzędnych i zmieniający się w odpowiedni sposób przy jego obrocie.

Innym przykładem wektora jest siła – ma ona zawsze pewną wartość, kierunek i zwrot w przestrzeni trójwymiarowej (liczba wymiarów nie ma tu większego znaczenia), a kilka różnych sił przyłożonych do tego samego obiektu daje w wyniku siłę wypadkową zgodnie z regułą równoległoboku.

W fizyce uogólnieniem pojęcia wektora jest tensor (wektor można uważać za tensor rzędu 1). Ten artykuł omawia rozmaite aspekty pojęcia wektora w przestrzeni trójwymiarowej.

Spis treści 1 Definicje 2 Reprezentacja wektorów 3 Długość wektora 4 Wektor zerowy 5 Równość wektorów 6 Suma i różnica wektorów 7 Wektory składowe, wypadkowe 8 Mnożenie przez skalar 9 Wersor 10 Iloczyn skalarny 11 Iloczyn wektorowy 12 Iloczyn mieszany wektorów 13 Uogólnienia 14 Pola wektorowe 15 Zobacz też 16 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicje

Jeżeli A jest macierzą obrotu, a x oznacza współrzędne dowolnego punktu przestrzeni, to w obróconym układzie współrzędnych współrzędne te będą równe x′ = A · x – jeśli składowe danej wielkości w "starym" i "nowym" (obróconym) układzie współrzędnych związane są ze sobą analogiczną zależnością v′ = A · v, to jest ona wektorem.

Ogólniej, wektor jest tensorem kontrawariantnym rzędu jeden.

Przykładami wektorowych wielkości fizycznych są obok prędkości i siły: pęd, przemieszczenie, przyspieszenie, natężenie pola elektrycznego, natężenie pola grawitacyjnego.

Między wektorami a wielkościami skalarnymi jest wyraźna różnica: wielkości skalarne takie jak odległość, energia, czas, temperatura, ładunek elektryczny, moc, czy masa są w pełni scharakteryzowane przez swoją wartość.

W fizyce oprócz wektorów występują również pseudowektory (lub wektory osiowe). Są to wielkości, których składowe podczas obrotów niewłaściwych układu współrzędnych zmieniają znak na przeciwny. Przykładem są tu prędkość kątowa i wszystkie wektory od niej pochodne jak moment siły i moment pędu a także pole magnetyczne. Rozróżnienie na wektory i pseudowektory jest często zaniedbywane – nabiera ono znaczenia dopiero, gdy rozważa się własności symetrii równań opisujących zjawiska. Prostym sposobem odróżnienia wektora od pseudowektora jest przedstawienie wybranego zjawiska w zwierciadle. Wektory odbijają się tak jak obrazy a pseudowektory zmieniają zwrot.

[edytuj] Reprezentacja wektorów

W druku wektory oznacza się najczęściej czcionką pogrubioną: a, b, ... Inne sposoby oznaczania wektorów to umieszczanie strzałki nad literą lub (rzadziej) podkreślanie: a; używa się również znaku tyldy pod symbolem. Wartość wektora a (odpowiednik długości w matematyce) oznacza się symbolem ||a|| i często nazywa jego normą.

Wektory często reprezentuje się graficznie jako strzałki:

Tutaj punkt A nazywa się początkiem lub punktem zaczepienia wektora, natomiast punkt B jego końcem. Długość strzałki powinna być związana z wartością wektora, a jej kierunek z kierunkiem wektora.

Strzałkę reprezentującą wektor z rysunku powyżej można zapisać jako lub AB (należy jednak zwrócić uwagę, że podkreślenie stosuje się również dla oznaczenia liczb zespolonych).

Mimo swej poglądowości, reprezentacja graficzna jest niewygodna jeśli chodzi o działania na wektorach. W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej każdy wektor można przedstawić jednoznacznie jako kombinację liniową wzajemnie prostopadłych wektorów jednostkowych (tj. od wartości – długości – równej 1). Dla n=3 wektory te mają standardowe oznaczenia: wektor jednostkowy równoległy do osi OX oznaczamy symbolem i, równoległy do osi OY symbolem j, a równoległy do osi OZ symbolem k. Zatem, dowolny wektor a w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R³ można jednoznacznie zapisać jako:

.

Liczby rzeczywiste a_l nazywamy współrzędnymi wektora i są one jednoznacznie wyznaczone przez sam wektor a, który wobec tego zapisuje się często w postaci kolumnowej:

lub wierszowej

Sposób zapisywania wektorów na płaszczyźnie:
Wektor biegnący z punktu A(x_a;y_b) do punktu B(x_b;y_b) ma wartość:

[edytuj] Długość wektora

Długość (wartość) wektora a = a₁i + a₂j + a₃k to liczba równa:

Wzór ten jest konsekwencją twierdzenia Pitagorasa obowiązującego w geometrii euklidesowej.

[edytuj] Wektor zerowy

Dla pełności teorii wygodnie jest przyjąć istnienie tak zwanego wektora zerowego. Jest to wektor o nieokreślonym kierunku i zwrocie oraz długości równej 0. Dodanie (lub odjęcie) wektora zerowego do innego wektora nie zmienia tego wektora.

[edytuj] Równość wektorów

W fizyce rozróżnia się wektory swobodne, związane (zaczepione) oraz ślizgające się. Przykładem wektora swobodnego jest wektor opisujący przesunięcie bryły w przestrzeni, nie jest istotne umieszczenie wektora w przestrzeni, jest on zawsze taki sam. Wektorem ślizgajacym się jest wektor siły diałającej na bryłę sztywną, zmiana prostej wzdłuż której działa wektor na inną choć równoległą, zmienia skutek działania siły, ale zmiana punktu przyłożenia siły na inny na tej samej prostej nie zmienia skutku działania siły. W przypadku gdy siła działa na bryłę elastyczną istotny jest także punkt przyłożenia siły na prostej wzdłuż której działa (np. sprężyna ściskana w całości lub tylko jej część).

Dwa wektory są równe, gdy mają tę samą wartość, kierunek i zwrot. W przypadku wektorów zaczepionych dodatkowym warunkiem jest równość punktów zaczepienia. Dla przykładu, wektory: i + 2j + 3k zaczepiony w punkcie (1,0,0) i i+2j+3k zaczepiony w punkcie (0,1,0) są równe, ale jeśli traktować je jako wektory zaczepione – nie.

[edytuj] Suma i różnica wektorów

Niech a=a₁i + a₂j + a₃k i b=b₁i + b₂j + b₃k będą dwoma wektorami. Ich sumę określamy jako:

Graficzną interpretacją dodawania wektorów jest tak zwana reguła równoległoboku:

lub reguła trójkąta:

Różnicę wektorów a i b określamy następująco:

Geometrycznie:

według reguły równoległoboku i

według reguły trójkąta.

[edytuj] Wektory składowe, wypadkowe

Wektorami składowymi danego wektora nazywa się wektory, których suma jest równa danemu wektorowi. Przy określaniu wektorów składowych często narzuca się dodatkowe warunki np. określające kierunki tych wektorów.

Stwierdzenie, że wektor charakteryzuje się wartością, kierunkiem i zwrotem z matematycznego punktu widzenia oznacza, że jego składowe zmieniają się podczas obrotu układu współrzędnych w ten sam sposób jak współrzędne punktów przestrzeni.

Wektor będący sumą kilku wektorów nazywany jest wektorem wypadkowym.

[edytuj] Mnożenie przez skalar

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn wektora przez skalar.

Wektor można pomnożyć przez skalar – czyli w naszej sytuacji liczbę rzeczywistą. Jeżeli a jest wektorem, a r skalarem, to iloczynem ra wektora a przez skalar r nazywamy wektor:

Jego długość równa jest |r||a|, kierunek taki sam jak kierunek wektora a, a zwrot zgodny ze zwrotem a, gdy r>0 i przeciwny do zwrotu a, gdy r<0.

Tak określone mnożenie spełnia podstawowe własności algebraiczne – jest między innymi łączne i rozdzielne.

[edytuj] Wersor

Zobacz więcej w osobnym artykule: Wersor.

Wersorem, albo wektorem jednostkowym, nazywamy dowolny wektor o długości równej jedności. Z każdym wektorem niezerowym wektorem a, można stowarzyszyć pewien wersor, który jest zgodnie z nim skierowany. Mianowicie, łatwo sprawdzić, że wektor:

Ma długość jeden i jest skierowany zgodnie z wektorem a.

[edytuj] Iloczyn skalarny

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny wektorów a i b (zwany czasem iloczynem wewnętrznym) jest liczbą, określoną jak następuje:

gdzie θ jest miarą kąta pomiędzy wektorami a i b. Jeśli

Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne wektorów a i b wygląda następująco:

Sens geometryczny iloczynu skalarnego jest następujący: jeśli narysować a i b jako zaczepione w jednym punkcie, to a·b jest iloczynem długości wektora a i rzutu równoległego wektora b na kierunek wektora a. Na przykład, w fizyce, praca wykonana nad ciałem przez siłę F jest iloczynem skalarnym wektora tej siły i wektora o jaki przesunęła ona ciało.

[edytuj] Iloczyn wektorowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn wektorowy.

Iloczyn wektorowy wektorów a i b (zwany też iloczynem zewnętrznym) jest wektorem określonym następująco:

gdzie θ jest miarą kąta między wektorami a i b, a n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b oraz skierowanym tak, by orientacja układu wektorów a, b i a×b była zgodna z orientacją wersorów osi układu współrzędnych.

W praktyce powszechnie wykorzystuje się układ współrzędnych zorientowany prawoskrętnie – oznacza to, że wersory i, j, k osi układu skierowane są zgodnie z kierunkami wyznaczonymi przez kciuk, palec wskazujący i palec środkowy (w tej właśnie kolejności) prawej dłoni. Chcąc zatem wyznaczyć kierunek iloczynu a×b należy ustawić kciuk zgodnie z kierunkiem wektora a i palec wskazujący zgodnie z kierunkiem wektora b, a wówczas palec środkowy wskaże kierunek wektora a×b. Zauważmy, że tak określony iloczyn wektorowy nie jest przemienny, to znaczy mnożąc b przez a otrzymamy inny wynik! Dokładniej,

a×b = – b×a.

Wynika stąd, że a×b jest pseudowektorem.

Geometrycznie długość wektora a×b można interpretować jako pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b.

Podane tu określenie iloczynu wektorowego ma sens jedynie w geometrii trójwymiarowej, choć daje się uogólnić na więcej wymiarów.

[edytuj] Iloczyn mieszany wektorów

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn mieszany wektorów.

Iloczyn mieszany jest działaniem, które trójce wektorów a, b, c przypisuje liczbę oznaczaną (abc) i określoną następująco:

Główne zastosowania iloczynu mieszanego są trojakie. Przede wszystkim, wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wyraża objętość równoległościanu rozpiętego na danych wektorach. Dalej, iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo zależne. I wreszcie, iloczyn mieszany jest liczbą dodatnią, wtedy i tylko wtedy, gdy trójka wektorów zorientowana jest zgodnie z trójką wersorów i, j, k osi układu współrzędnych.

Jeżeli wektory a, b, c dane są przez swoje współrzędne w postaci kolumnowej, to iloczyn mieszany tych wektorów równy jest wyznacznikowi macierzy kwadratowej utworzonej z wektorów.

[edytuj] Uogólnienia

W matematyce wektor oznacza element pewnej przestrzeni wektorowej. Tak rozumiane wektory są w pełni określone wyłącznie przez swoje własności formalne i mogą one być bardzo różnorodnymi obiektami: ciągami, macierzami lub przekształceniami przestrzeni. W szczególności, tak rozumianymi wektorami są również tensory (mimo, że w fizyce stanowią one uogólnienie klasycznego pojęcia wektora).

[edytuj] Pola wektorowe

Oprócz algebry wektorów, zajmującej się wektorami stałymi istnieje analiza wektorowa, która bada wektory zmienne czyli funkcje, których wartościami są wektory. Funkcje te nazywa się funkcjami wektorowymi lub polami wektorowymi.

[edytuj] Zobacz też

Pole wektorowe

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Online vector identities (pdf)