Lie-Integration

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Die Lie-Integration ist ein Verfahren zur numerischen Integration von Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu den herkömmlichen Verfahren können die Gleichungen hier durch Differenzieren anstatt durch Integration gelöst werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen
- 1.1 Lie-Operator
- 1.2 Lie-Reihen
  - 1.2.1 Eigenschaften
2 Die Methode
3 Ein Beispiel
4 Bemerkungen zur Lie-Integration
5 Siehe auch
6 Literatur

[Bearbeiten] Grundlagen

[Bearbeiten] Lie-Operator

Der Lie-Operator D (benannt nach dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie) ist ein linearer Differentialoperator:

$D=\theta_1\frac{\partial}{\partial z_1} + \theta_2\frac{\partial}{\partial z_2} + \ldots + \theta_n\frac{\partial}{\partial z_n}$

Die Funktionen $\theta_i(z)\,$ sind holomorph (d.h. sie können in eine konvergierende Potenzreihe entwickelt werden).

[Bearbeiten] Lie-Reihen

Der Lie-Operator kann auf eine Funktion $f(z)\,$ (die in der gleichen Region holomorph ist wie $\theta_i(z)\,$ ) angewandt werden:

$D(f)=\theta_1\frac{\partial f}{\partial z_1} + \theta_2\frac{\partial f}{\partial z_2} + \ldots + \theta_n\frac{\partial f}{\partial z_n}$

Wird D ein zweites mal auf f angewandt ergibt sich

$D^2\left(f\right)=D\left(D\left(f\right)\right)$

bzw. bei weiteren Anwendungen gilt:

$D^n\left(f\right)=D\left(D^{n-1}\left(f\right)\right)$

Die Lie-Reihe L wird nun folgendermaßen definiert:

$L(z,t)=\sum_{\nu=0}^\infty \frac{t^\nu}{\nu!} D^\nu f(z) = f(z)+tDf(z)+\frac{t^2}{2!}D^2f(z) + \ldots$

Da die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion durch

$e^x=\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots\right)$

gegeben ist, kann die Lie-Reihe symbolisch in folgender Form geschrieben werden:

$L\left(z,t\right)=e^{tD}f\left(z\right)$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Für die Lie-Reihe gilt der Vertauschungssatz:

Es sei F(z) eine holomorphe Funktion in der Umgebung von $(z_1,z_2,\ldots,z_n)\,$ in der ihre zugehörige Potenzreihe gegen $(Z_1,Z_2,\ldots,Z_n)\,$ konvergiert.

Dann gilt: $F(Z)=\sum_{\nu=0}^\infty \frac{t^\nu}{\nu!} D^\nu F(Z)$

oder

$F\left(e^{tD}\right)z=e^{tD}F(z)$

[Bearbeiten] Die Methode

Die Lösung einer Differentialgleichung durch Lie-Integration funktioniert folgendermaßen. Gegeben sei ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung:

$\frac{dz_i}{dt}=\theta_i(z)$

Dann können die Lösungen der Gleichungen durch eine Lie-Reihe beschrieben werden:

$z_i=e^{tD} \xi_i\,$

wobei hier $\xi_i\,$ die Anfangsbedingungen $z_i(t=0)\,$ sind. Der Beweis für diese Aussage lässt sich leicht führen. Zuerst wird $z_i\,$ nach der Zeit abgeleitet:

$\frac{dz_i}{dt}=De^{tD}\xi_i$

Jetzt kann der Vertauschungsatz benutzt werden

$De^{tD}\xi_i=e^{tD}D\xi_i\,$

Aus der Definition des Lie-Operators folgt

$D\xi_i=\theta_i\left(\xi_i\right)$

und damit der Beweis der Aussage:

$\frac{dz_i}{dt}=e^{tD}\theta_i\left(\xi_i\right)=\theta_i\left(e^{tD}\xi_i\right)=\theta_i\left(z_i\right)$

[Bearbeiten] Ein Beispiel

Als Demonstration des Verfahrens soll hier die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators mittels Lie-Integration gelöst werden. Die Bewegung des Oszillators kann durch ein Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden:

$\frac{d^2 x}{dt^2}+\alpha^2x=0$

Zuerst wird diese Gleichung in ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt:

$\frac{dx}{dt}=y=\theta_1(x,y)$

$\frac{dy}{dt}=-\alpha^2 x=\theta_2(x,y)$

Die Anfangsbedingungen werden als $x(t=0)=\xi\,$ und $y(t=0)=\eta\,$ bezeichnet. Damit hat der Lie-Operator folgende Form:

$D=\theta_1\frac{\partial}{\partial \xi}+ \theta_2\frac{\partial}{\partial \eta}=\eta\frac{\partial}{\partial \xi} - \alpha^2 \xi \frac{\partial}{\partial \eta}$

Die Lösungen der Differentialgleichungen sind nun durch die Lie-Reihen gegeben:

$x=e^{\tau D}\xi\,$

$y=e^{\tau D}\eta\,$

wobei hier $\tau\,$ den Zeitschritt $t-t_0\,$ der Integration darstellt. Um die Lösung explizit darzustellen, wird nun die Lie-Reihe in ihrer entwickelten Form dargestellt:

$x=e^{\tau D}\xi=\left(1+\tau D + \frac{t}{2!}D^2+\frac{t^3}{3!}D^3+\ldots\right) \xi$

Nun werden die einzelnen Terme der Reihe berechnet:

$D\xi=\eta=\theta_1\,$

$D^2\xi=D\eta=-\alpha^2\xi=\theta_2\,$

$D^3\xi=-\alpha^2 D\xi=-\alpha^2\eta\,$

$D^4\xi=-\alpha^2 D\eta=\alpha^4\xi\,$

$D^5\xi=-\alpha^4 D\xi=\alpha^4\eta\,$

$D^6\xi=-\alpha^4 D\eta=-\alpha^6\xi\,$

Allgemein lässt sich zeigen das in diesem Fall gilt:

$D^{2n}{\xi}=(-1)^n \alpha^{2n} \xi\,$

$D^{2n+1}{\xi}=(-1)^n \alpha^{2n} \eta\,$

Nun können die einzelnen Terme in die Lie-Reihe eingesetzt werden:

$x=\xi+\tau\eta - \frac{\tau^2}{2!}\alpha^2\xi-\frac{\tau^3}{3!}\alpha^2\eta + \frac{\tau^4}{4!}\alpha^4\xi \ldots$

Nach einer Faktorisierung von $ξ$ und $η$ ergibt sich schließlich

$x=\xi \left( 1 - \frac{\tau^2}{2!}\alpha^2+\frac{\tau^4}{4!}\alpha^4-\frac{\tau^6}{6!}\alpha^6+\ldots\right)+\frac{\eta}{\alpha}\left(\tau\alpha - \frac{\tau^3}{3!}\alpha^3 + \frac{\tau^5}{5!}\alpha^5 - \frac{\tau^7}{7!}\alpha^7 +\ldots\right)$

Bei den beiden Reihen in den Klammern handelt es sich um die Potenzreihe der Kosinus- bzw. Sinus-Funktion. Damit folgt nun die Lösung der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators:

$x(t)=\xi \cos \alpha \tau + \frac{\eta}{\alpha} \sin \alpha \tau$

[Bearbeiten] Bemerkungen zur Lie-Integration

Da die Lösungen bei der Lie-Integration als Potenzreihe in der unabhängigen Variable (hier $τ$ ) gegeben ist, ist es sehr einfach, einen Integrations-Algorithmus mit Schrittweitensteuerung anzugeben.

Das Verfahren ist bei der numerischen Lösung von Differentialgleichung sehr exakt. Durch Auswahl des Zeitschritts und der Anzahl der Terme der Lie-Reihe, die für die Lösung berechnet werden, lässt sich die Genauigkeit steuern: je mehr Lie-Terme berechnet werden, desto größer kann der Zeitschritt sein (und umgekehrt).
Für viele Differentialgleichungen kann die Berechnung der Terme der Lie-Reihe rekursiv erfolgen. Damit wird das Integrationsverfahren sehr schnell.

Zur Lösung einer Differentialgleichung mittels Lie-Integration ist nur eine Kenntnis über die Ableitungen der Gleichungen notwendig. Diese können aber immer, bis zu einer beliebig hohen Ordnung, bestimmt werden. Außerdem ist die Differentation von Gleichungen (im Gegensatz zur Integration!) mittels Computeralgebrasystemen (wie z.B. Mathematica oder Maple) komplett automatisierbar!

Aus den oben genannten Gründen wird die Lie-Integration besonders in der Himmelsmechanik zur numerischen Integration der Planetenbewegung verwendet da hier Schnelligkeit und Genauigkeit von großer Bedeutung sind.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Wolfgang Gröbner, Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen., VEB, 1960, ISBN B0000BISQ2
Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Chaos and Stability in Planetary Systems., Springer, 2005, ISBN 3540282084
N. Asghari et. al, Stability of terrestrial planets in the habitable zone of Gl 777 A, HD 72659, Gl 614, 47 Uma and HD 4208. In: Astronomy & Astrophysics 426/2004, S. 353-365 (ISSN 0004-6361)

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Kategorien: Numerische Mathematik | Algebra