Newton-Cotes-Formeln

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Die Newton-Cotes-Formeln sind eine Klasse von Verfahren der Numerischen Integration. Sie sind benannt nach dem englischen Physiker und Mathematiker Isaac Newton (1643-1727) und dem englischen Mathematiker Roger Cotes (1682-1716).

Um eine beliebige Funktion $f (x)$ im Intervall $[a, b]$ numerisch zu integrieren, kann man $f (x)$ durch ein Interpolationspolynom $p (x)$ annähern. Dieses Polynom lässt sich dann einfach integrieren. Man wähle dazu die n+1 Punkte $x i$ mit:

$a \leq x_0 < x_1 < \cdots < x_n \leq b$

und bestimmt $p (x)$ für die Daten:

$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\cdots,(x_n,f(x_n))$

Damit wird das gesuchte Integral zu:

$I(f) := \int_a^bf(x) \, dx \approx \int_a^bp(x) \, dx$

Wählt man zur Darstellung von $p (x)$ die Lagrange-Polynome, so erhält man:

$I(f) \approx \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i) \, L_i(x) \, dx$

mit $\quad L_i(x) = \frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)} {(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}$ für $i=0,1,\dots,n$

Die Summe lässt sich wegen der Linearität des Integrals vorziehen:

$I(f) \approx \sum_{i=0}^n f(x_i) \int_a^b L_i(x) \, dx=\sum_{i=0}^n \alpha_i f(x_i)$

Die Integrale über die Lagrangepolynome sind von der zu integrierenden Funktion unabhängig, und werden zu den sogenannten Gewichten $\alpha_i\,$ . Für die Gewichte gilt $\sum_{i=0}^n \alpha_i=1$ . Sie sind von der Wahl der Punkte $x i$ abhängig. Wählt man die $x i$ äquidistant, also mit gleichem Abstand, erhält man die Newton-Cotes-Formeln. Sind der erste und der letzte Knoten Anfang und Ende des Intervalls, also:

$x_i = a + \frac{i}{n}(b-a) \quad \quad i=0,1,\dots,n \quad \quad \forall \quad n \geq 1$

$x_0 = \frac{b-a}{2} \quad \quad \forall \quad n = 0 \mbox{ }$

so nennt man die Newton-Cotes-Formel abgeschlossen, andernfalls offen. Bei den abgeschlossenen Formeln sind die Gewichte symmetrisch, d.h. $\alpha_{n-i}=\alpha_i\,$ .

Spezialfälle der abgeschlossenen Formeln für kleine n:

n=0: Rechteck- oder Mittelpunktsregel
n=1: Trapezregel
n=2: Simpson-Regel/Keplersche Fassregel
n=3: 3/8 - Regel oder auch Pulcherima
n=4: Milne-Regel

n	$\alpha_0\,$	$\alpha_1\,$	$\alpha_2\,$	$\alpha_3\,$	$\alpha_4\,$
1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
2	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{6}$	$\frac{1}{6}$
3	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$
4	$\frac{7}{90}$	$\frac{32}{90}$	$\frac{12}{90}$	$\frac{32}{90}$	$\frac{7}{90}$

Für große n sind diese Formeln aus praktischer Sicht unbrauchbar. Es müssen viele Funktionswerte ausgewertet werden. Dabei kommt es vermehrt zu Rundungsfehlern und Auslöschung. Für $n=8\,$ und etliche $n\ge 10$ treten sogar negative Gewichte auf.

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Kategorie: Numerische Mathematik

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