Transformace souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Transformací souřadnic nazýváme přechod od jedné soustavy souřadnic k jiné soustavě souřadnic.

V obecném případě je možno transformaci souřadnic vyjádřit jako

$x_i^\prime = f_i(x_1,x_2, \cdots,x_m)$ ,

kde $x i$ jsou souřadnice v původní soustavě souřadnic, $x_i^\prime$ jsou souřadnice v nové soustavě (pro $i = 1,2,..., n$ ) a $f i$ jsou funkce proměnných $x i$ .

Pokud k funkcím $f i$ existují inverzní funkce $f_i^{-1}$ proměnných $x_i^\prime$ převádějící souřadnice $x_i^\prime$ na souřadnice $x i$ , pak $f_i^{-1}$ označujeme jako obrácenou (inverzní) transformaci souřadnic.

Obsah

1 Lineární transformace souřadnic
2 Unitární transformace souřadnic
- 2.1 Spojitá a diskrétní transformace
3 Podívejte se také na

[editovat] Lineární transformace souřadnic

O lineární transformaci souřadnic hovoříme tehdy, pokud lze souřadnice $x 1, x 2,..., x n$ soustavy $S$ transformovat na souřadnice $x_1^\prime, x_2^\prime, ..., x_m^\prime$ soustavy $S^\prime$ prostřednictvím vztahu

$x_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j$

pro $i = j,2,..., m$ . Prvky $a i j$ tvoří transformační matici $\mathbf{A}$ , která převádí souřadnice $x j$ na $x_i^\prime$ .

Souřadnice $x_i^\prime$ jsou tedy vyjádřeny jako lineární kombinace souřadnic $x j$ .

Lineární transformace představuje lineární zobrazení $S \to S^\prime$ .

[editovat] Unitární transformace souřadnic

Lineární transformace souřadnic, při nichž se zachovávají (jsou invariantní) vzdálenosti, označujeme jako unitární.

V kartézské soustavě souřadnic $S$ lze čtverec vzdálenosti vyjádřit jako $s^2 = \sum_{i=1}^n x_i x_i$ . Transformace bude unitární tehdy, pokud bude v soustavě $S^\prime$ platit ${s^\prime}^2 = s^2$ , tzn.

$\sum_{i=1}^n x_i^\prime x_i^\prime = \sum_{i,j,k=1}^n a_{ij} a_{ik} x_j x_k = \sum_{j=1}^n x_j x_j$ ,

což lze pomocí Kroneckerova symbolu upravit na tvar

$\sum_{i,j,k=1}^n (a_{ij} a_{ik} - \delta_{jk}) x_j x_k = 0$

Tato podmínka musí být splněna pro libovolná $x j x k$ , musí tedy platit

$\sum_{i,j,k=1}^n a_{ij} a_{ik} = \delta_{jk}$

nebo v maticovém zápisu

$\mathbf{A}^T \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1}$ ,

kde $\mathbf{A}^T$ je matice transponovaná k matici $\mathbf{A}$ a $\mathbf{1}$ je jednotková matice.

Podle předchozího zápisu je vidět, že při unitární transformaci musí platit

$\mathbf{A}^T = \mathbf{A}^{-1}$ ,

kde $\mathbf{A}^{-1}$ je inverzní matice k matici $\mathbf{A}$ .

Uvedené podmínky platí v reálných vektorových prostorech.

V komplexních vektorových prostorech je nutno poslení podmínku zaměnit za

$\mathbf{A}^+ = \mathbf{A}^{-1}$ ,

kde $\mathbf{A}^+$ je matice hermiteovsky sdružená k matici $\mathbf{A}$ . V reálných prostorech je však komplexně sdružená matice rovna původní matici, tzn. $\mathbf{A}^* = \mathbf{A}$ , což znamená, že $\mathbf{A}^+$ lze nahradit transponovanou maticí $\mathbf{A}^T$ , čímž získáme původně uvedenou podmínku unitárnosti pro reálné prostory.

[editovat] Spojitá a diskrétní transformace

Při unitární transformaci v reálném prostoru lze získat determinant

$\det(\mathbf{A}^T\cdot\mathbf{A}) = \det \mathbf{A}^T \cdot \det \mathbf{A} = {(\det \mathbf{A})}^2 = \det \mathbf{1} = 1$ ,

kde bylo využito toho, že hodnota determinantu se při transponování nezmění. Z předchozího výrazu plyne

$\det \mathbf{A} = \pm 1$

Příkladem unitární transformace, pro kterou platí $\det \mathbf{A} = 1$ je rotace souřadnic, neboť rotace je spojitá transformace souřadnic, které při identické transformaci, tzn. pootočení o [[nula|nulový] úhel, kdy $x_i^\prime = x_i$ , musí odpovídat transformační matice $a i j = δ i j$ .

Při prostorové inverzi (zrcadlení všech os), kdy platí $x_i^\prime = - x_i$ , dostáváme $a i j = - δ i j$ , což ve vztahu $\det \mathbf{A} = -1$ . Prostorová inverze je příkladem diskrétní transformace souřadnic.