Křivkový integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je mnoho druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné.

Obsah

1 Definice
- 1.1 Vlastnosti křivkových integrálů
2 Komplexní analýza
- 2.1 Příklad
3 Vektorový počet
4 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Mějme orientovanou křivku $k$ , která je definována rovnicemi $x = φ(t), y = ψ(t)$ pro $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$ . Na této křivce k nechť je definována funkce $z = f (x, y)$ .

Křivku k rozdělíme na $n$ oblouků $o 1, o 2,..., o n$ v bodech $A 1, A 2,..., A n - 1$ s parametry $t 1 < t 2 < ... < t n - 1$ . Na každém oblouku $o i$ zvolíme bod $C i$ o souřadnicích $[ξ i,η i]$ a sestrojíme součty

$S_x = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})]$

$S_y = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(y_i-y_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\psi(t_i)-\psi(t_{i-1})]$

$S_s = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(s_i-s_{i-1})$

kde $l_i = s_i-s_{i-1} = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t$ je délka oblouku $o i$ .

Největší z délek $l k$ při daném dělení $d$ nazveme normou dělení $d$ , tzn. $ν(d) = max d l k$ .

Pokud existuje takové číslo $I x$ , resp. $I y$ , resp. $I s$ , že k libovolnému $\varepsilon>0$ lze najít takové $δ > 0$ , že $\left|I_x-S_x\right|<\varepsilon$ , resp. $\left|I_y-S_y\right|<\varepsilon$ , resp. $\left|I_s-S_s\right|<\varepsilon$ pro každé dělení $d$ , pro které $ν(d) < δ$ bez ohledu na volbu bodů $C k$ na $o k$ , pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce $f (x, y)$ po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy

$I_x = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$I_y = \int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$I_s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t$

Integrál $I s$ označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály $I x, I y$ jako křivkové integrály druhého druhu.

Je-li funkce $f (x, y)$ spojitá na křivce k, pak integrály uvedené integrály existují.

Za integrál druhého druhu považujeme také integrál

$\int_k \left[f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\right] = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x + \int_k g(x,y)\mathrm{d}y$

Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak $\oint$ .

Demonstrace významu křivkových integrálů.

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí $z = f (x, y)$ , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem $I s$ . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny $x z$ , resp. $y z$ , je určen integrálem $I x$ , resp. $I y$ .

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti $Ω$ definována spojitá funkce $f (x, y, z)$ a křivka k zadaná parametricky vztahy $x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t)$ pro $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$ , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)+{\chi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t$

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}y = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}z = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\chi^\prime(t)\mathrm{d}t$

[editovat] Vlastnosti křivkových integrálů

Je-li k orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky $k 1, k 2$ , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

$\int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}x + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}x$

$\int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}y + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}y$

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

$\int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}s + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}s$

Jsou-li na křivce k definovány funkce $f 1 (x, y), f 2 (x, y)$ , pak pro libovolné konstanty $c 1, c 2$

$\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}x = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}x + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}x$

$\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}y = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}y + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}y$

$\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}s = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}s + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}s$

Označme jako $k^\prime$ křivku, která má opačnou orientaci než křivka $k$ . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

$\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}x = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}x$

$\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}y = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}y$

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

$\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s$

[editovat] Komplexní analýza

V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po C¹ křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>

$\int_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z= \int_{a}^{b}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t\,$

kde integrujeme zvlášť reálnou a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení

$\oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z.$

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

[editovat] Příklad

Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou křižnici kolem bodu 0, která je parametrizována jako e^it, kde parametr t probíhá <0, 2π>. Substitucí

$\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t$

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

Křivkový integrál

$=i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i$

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

[editovat] Vektorový počet

Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového pole podél křivky).

[editovat] Integrál prvního druhu

Nechť f je skalární pole Rⁿ→R spojité po částech C¹ podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rⁿ, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu

$\int_{\gamma}f\ \mathrm{d}s = \int_{a}^{b}f(t) \left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t}\right| \mathrm{d}t.$

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace.

[editovat] Integrál druhého druhu

Nechť A je vektorové pole Rⁿ→Rⁿ spojité po částech C¹ podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rⁿ, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu

$\int_{\gamma}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{a}^{b}\mathbf{A}(t) \cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t.$

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace mění znaménko.

[editovat] Užití

Křivkové integrály mají široké využití ve fyzice - jako příklad můžeme uvést výpočet vykonané práce podél křivky - ta je rovna křivkovému integrálu (druhého druhu) vektoru síly pole dráhy.

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../k/%C5%99/i/K%C5%99ivkov%C3%BD_integr%C3%A1l.html“

Kategorie: Integrální počet | Vektorový počet | Komplexní analýza