Kurvenintegral

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Das Kurven-, Linien- oder Wegintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis). Wegintegrale über geschlossene Kurven C werden auch als Ringintegrale bezeichnet und mit dem Symbol $\oint_C$ geschrieben.

[Bearbeiten] Reelle Wegintegrale

Das Wegintegral einer Funktion

$f\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$

entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges

$\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n$

ist definiert als

$\int_\gamma f\,\mathrm ds = \int_a^b f(\gamma(t)) |\dot\gamma(t)| \,\mathrm dt.$ (Kurvenintegral 1. Art)

Analog dazu berechnet sich das Wegintegral über ein Vektorfeld

$\mathbf f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$

mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve so:

$\int_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x} = \int_a^b \langle\mathbf{f}(\gamma(t)), \dot\gamma(t)\rangle\,\mathrm dt.$ (Kurvenintegral 2. Art)

Ist $\eta\colon[c,d]\to\mathbb R^n$ ein weiterer Weg mit $γ(a) = η(c)$ und $γ(b) = η(d)$ , und haben $γ$ und $η$ dasselbe Bild, parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung, so stimmen die Integrale entlang $γ$ und $η$ überein. Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, wird daher der Weg in der Notation unterdrückt.

Ein Spezialfall ist die Länge der durch $γ$ parametrisierten Kurve $C$ :

$\mathrm{L\ddot ange\ von\ }C = \int_C \mathrm{d}s = \int_a^b|\dot\gamma(t)|\,\mathrm dt.$

[Bearbeiten] Beispiele

Ist $C$ der Graph einer Funktion $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ , so wird der Graph durch

$\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2,\quad t\mapsto(t,f(t))$

parametrisiert. Wegen

$|\dot\gamma(t)|=\sqrt{1+f'(t)^2}$

ist die Länge des Graphen gleich

$\int_C\mathrm ds = \int_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,\mathrm dt.$

Eine Ellipse mit großer Halbachse $a$ und kleiner Halbachse $b$ wird durch $(a cos t, b sin t)$ für $t\in[0,2\pi]$ parametrisiert. Ihr Umfang ist also

$\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,\mathrm dt=a\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2t}\,\mathrm dt;$

dabei bezeichnet $\varepsilon$ die numerische Exzentrizität $\sqrt{1-b^2/a^2}$ der Ellipse. (Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.)

[Bearbeiten] Wegunabhängigkeit

Ist ein Vektorfeld F ein Gradientenfeld, d.h. F ist der Gradient eines skalaren Feldes V, mit

$\nabla V = \mathbf{F},$

so gilt für die Ableitung der Komposition von V und r(t)

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) = \nabla V(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)$

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über F auf r(t) entspricht. Daraus folgt für einen gegebenen Weg S

$\int_S \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm dt = \int_a^b \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) \,\mathrm dt = V(\mathbf{r}(b)) - V(\mathbf{r}(a)).$

Zwei beliebige Wege in einem Gradientenfeld

Dies bedeutet, dass das Integral von F über S ausschließlich von den Punkten r(b) und r(a) abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird ein Vektorfeld, welches dem Gradienten eines skalaren Feldes entspricht, als wegunabhängig bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve S, mit zwei beliebigen Wegen S1, S2

$\oint_S \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = \int_{1,S1}^2 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} + \int_{2, S2}^1 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = 0$

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets erhalten ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld V ist dabei das Potential bzw. die Potentielle Energie; diese ist gemäß der letzten Beziehung über einen geschlossenen Weg gleich Null.

[Bearbeiten] Komplexe Wegintegrale

Ist $f\colon[a,b]\to\mathbb{C}$ eine komplexwertige Funktion, dann nennt man $f$ integrierbar, wenn $Re f$ und $Im f$ integrierbar sind. Man definiert

$\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d} x := \int\limits_a^b\mathrm{Re}f(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\mathrm{Im}f(x)\mathrm{d}x$ .

Das Integral ist damit $\mathbb{C}$ -linear. Ist $f$ stetig und $F$ eine Stammfunktion von $f$ , so gilt wie im Reellen

$\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)$ .

Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist $f\colon U\to\mathbb C$ eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet $U\subseteq\mathbb C$ , und ist $\gamma\colon[0,1]\to U$ ein stückweise stetig differenzierbarer Weg in $U$ , so ist das Wegintegral von $f$ entlang des Weges $γ$ definiert als

$\int_\gamma f:=\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz:=\int_0^1 f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,\mathrm dt.$

Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion $f$ hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von $γ$ ab. Ist $U$ einfach zusammenhängend, so hängt das Integral also überhaupt nicht von $γ$ , sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges $γ$ durch

$\operatorname{L}(\gamma):=\int\limits_0^1 \left| \gamma'(t) \right| \mathrm{d}t$ .

Für theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung, die sogenannte Standardabschätzung, von besonderem Interesse:

$\left| \int_\gamma f \right| \leq \operatorname{L}(\gamma)\cdot C$ , wenn $\left| f(z) \right|\leq C$ für alle $z\in\gamma([0,1])$ gilt.

Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Weges $γ$ , d.h. es ist nicht zwingend notwendig, $[0,1]$ als Parameterbereich zu wählen, wie man durch Substitution leicht sieht.