Plocha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Plocha je množina všech bodů prostoru, jejichž pravoúhlé souřadnice vyhovují rovnici

F (x, y, z) = 0

kde $F$ je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu.

Pojem plocha se používá nejen pro označení geometrického útvaru v prostoru (např. válcová nebo kuželová plocha), ale také pro označení obsah geometrického obrazce.

Body a přímky mají nulovou plochu. V závislosti na definici může mít objekt i nekonečnou plochu, např. celá Euklidovská plocha

[editovat] Body plochy

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce $F$ má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

[editovat] Rovnice

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

[editovat] Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

F (x, y, z) = 0

[editovat] Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

x = x (u, v)

y = y (u, v)

z = z (u, v)

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž $u, v$ jsou parametry plochy. Každou dvojici $u, v$ z určitého oboru $Ω$ nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na $Ω$ spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle $u$ a $v$ .

[editovat] Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

z = f (x, y)

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

[editovat] Vlastnosti

Zavedeme matici

$\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}$

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost $h = 2$ jsou regulárními body. Je-li hodnost matice $h < 2$ , pak jde o singulární body.

Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v $Ω$ nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost $h = 2$ , pak plochu označujeme jako hladkou.