Nombre irracional

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals
Naturals $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Enters $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Racionals $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reals $\mathbb{R}$ {Q U I U Tr} Complexos $\mathbb{C}$ Primers $\mathbb{P}$ {2,3,5,7,11...} Abundants Amics Compostos Defectiu Perfectes Sociables Parells {...-2,0,+2,..} Senars {...-3,-1,+1,+3...} Irracionals $\mathbb{I}$ Algebraics Trascendents $Tr$ Nombre π (π) ≈ 3.1415926535... Nombre e ≈ 2.7182818284... Unitat imaginària $i = \sqrt{-1}$ Infinit ∞ Nombres infinits Nombres transfinits
Extensions dels nombres complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions $\mathbb{H}$ Octonions $\mathbb{O}$ Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals
Nombres Especials
Nominals Ordinals {1^o,2^o,...} (d'ordre) Cardinals { $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,$ ...}
Altres nombres importants
Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans
Sistemes de numeració
Àrab Armeni Àtica (grega) Babilònica Xinesa Ciríl·lica Egípcia Etrusca Grega Hebrea Índia Jònica (grega) Japonesa Jémer Maia Romana Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

En matemàtiques, un nombre irracional és qualsevol real que no és un nombre racional, és a dir, que no es pot expressar com una fracció a / b , essent a i b enters i b diferent de 0. Els nombres irracionals són precisament aquells l'expansió decimal dels quals no s'atura mai, i tampoc no entra mai en un cicle periòdic. "Gairebé tots" els nombres reals són irracionals, en un sentit que es pot definir amb més precisió.

Alguns nombres irracionals són nombres algebraics com l'arrel quadrada de 2 o l'arrel cúbica de 5; altres són transcendents com $π$ i $e$ .

Taula de continguts

1 Irracionalitat de certs logaritmes
2 Nombres Irracionals i expansions decimals
3 Nombres que actualment no se sap si són irracionals
4 El conjunt de tots els nombres irracionals
5 Pàgines relacionades

[edita] Irracionalitat de certs logaritmes

Suposem que el log₂3 sigui racional.

Llavors, per alguns enters positius m i n, tenim log₂3 = m/n.

En conseqüència 2^m/n = 3.
Així, 2^m = 3ⁿ.
Però 2^m és parell (ja que al menys un dels seus factors primers és 2) i 3ⁿ és imparell (ja que no té cap factor primer 2; tots són 3) així que és impossible.

[edita] Nombres Irracionals i expansions decimals

De vegades se suposa erròniament que els matemàtics defineixen "nombre irracional " en termes d'expansions decimals, anomenant a un nombre irracional si la seva expansió decimal no es repeteix ni acaba. Cap matemàtic pren aquesta definició en consideració, ja que l'elecció de la base 10 és arbitrària i la definició estàndard és molt millor. De tota manera, és cert que un nombre té la forma n/m on n i m són enters, si i només si la seva expansió decimal es repeteix o acaba. Quan l'algorisme de llarga divisió que s'aprèn a l'escola s'aplica a la divisió of n per m, només són possibles m residus. Si el residu és 0, l'expansió decimal s'atura. Llavors l'algoritme només pot córrer m - 1 vegades sense usar un residu 2 cops. Si un residu es repeteix, l'expansió decimal també! A la inversa, suposem que trobem una expansió decimal periòdica, per exemple:

A = 0.7162162162 ...

Donat que la longitud del període és 3, cal multiplicar per 10³:

1000A = 716.2162162...

i ara restar A dels 2 costats:

999A = 715.5

Llavors

A = 715.5/999 = 7155/9990 = 53/74 (trobant el màxim comú divisor)

[edita] Nombres que actualment no se sap si són irracionals

No se sap si π + e o π - e són irracionals o no. De fet, no existeix un parell de nombres enters m i n pels quals se sàpiga si m·π + n·e són o no irracionals. Tampoc no se sap si 2^e, π^e, π^√2 o la γ són irracionals.

[edita] El conjunt de tots els nombres irracionals

El conjunt de tots els nombres irracionals és incomptable (ja que els racionals són comptables i els reals incomptables). Usant el valor absolut per a mesurar distàncies, els nombres irracionals són un espai mètric que no és un complet. De tota manera, aquest espai mètric és homeomòrfic a l'espai mètric complet de totes les successions de enters positius; l'homeomorfisme ve donat per l'expansió infinita en fraccions contínues. Això mostra que el teorema de categories de Baire s'aplica a l'espai de nombres irracionals.