拓扑空间

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拓扑空间是一种数学结构，人们可以利用它来形式化地讨论诸如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间的概念在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

[编辑] 定义

拓扑空间 $\left( X,\mathfrak{T} \right)$ 是指集合 $X$ 连同 $X$ 的子集族 $\mathfrak{T}$ ，它们满足如下的开集公理：

O₁：空集 $\empty$ 和全集 $X$ 都属于 $\mathfrak{T}$ 。
O₂： $\mathfrak{T}$ 中的任意多个子集的并集仍然属于 $\mathfrak{T}$ 。
O₃： $\mathfrak{T}$ 中的任意两个子集的交集仍然属于 $\mathfrak{T}$ 。

集族 $\mathfrak{T}$ 称为集合 $X$ 或者空间 $X$ 的拓扑。集族 $\mathfrak{T}$ 中的元素被称为 $X$ 上的开集，开集的补集被称为闭集。 $X$ 的元素称之为点。

[编辑] 拓扑之间的关系

同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑 $\mathfrak{T}_1$ 的每一个开集都属于拓扑 $\mathfrak{T}_2$ 时，我们说拓扑 $\mathfrak{T}_2$ 比拓扑 $\mathfrak{T}_1$ 更细，或者说拓扑 $\mathfrak{T}_1$ 比拓扑 $\mathfrak{T}_2$ 更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

[编辑] 连续映射

拓扑空间上的一个映射，如果它对于每个开集的原像都仍然是开集，那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。

同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

[编辑] 其他的定义

虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法，但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空间的定义连同各自连续映射的定义，从范畴论的角度看，都定义了同一个范畴Top。

[编辑] 闭集

利用德·摩根律，和上面定义中关于开集的公理相对偶的，我们引入下述关于闭集的公理。

集合 $X$ 上的子集族 $\mathfrak{F}$ ，它们满足如下的公理：

C₁：空集 $\empty$ 和全集 $X$ 都属于 $\mathfrak{F}$ 。
C₂： $\mathfrak{T}$ 中的任意多个子集的交集仍然属于 $\mathfrak{F}$ 。
C₃： $\mathfrak{T}$ 中的任意两个子集的并集仍然属于 $\mathfrak{F}$ 。

集族 $\mathfrak{F}$ 中的元素称为集合 $X$ 上的闭集。我们也可以直接利用闭集来定义连续映射：映射 $f$ 是连续的，当且仅当， $f$ 对任何闭集的原像也是闭集。

[编辑] 邻域

我们考虑集合 $X$ 上的一个映射 $\mathfrak{N}: X \to P( P(X) )$ ，其中 $P (P (X))$ 指集合 $X$ 的幂集的幂集。我们假设 $\mathfrak{N}$ 将 $X$ 中的点 $x$ 映射为 $X$ 的子集族 $\mathcal{N}_x$ ，即有 $\mathfrak{N}: x \mapsto \mathcal{N}_x$ 。

对任意的 $x \in X$ ，如果上述的 $\mathcal{N}_x$ 满足如下公理：

N₁：集族 $\mathcal{N}_x$ 不空，并且 $\mathcal{N}_x$ 中任何一个集合都包含点 $x$ 。
N₂：集族 $\mathcal{N}_x$ 中的一个集合 $N$ ，如果有 $N \subset U$ ，则集合 $U$ 也属于集族 $\mathcal{N}_x$ 。
N₃：集族 $\mathcal{N}_x$ 中任意两个集合的交集仍在 $\mathcal{N}_x$ 中。
N₄：集族 $\mathcal{N}_x$ 中的任意一个集合 $N$ ，存在 $\mathcal{N}_x$ 中的另一个集合 $U$ ，使得 $U$ 包含于 $N$ ，且对于 $U$ 中的任意点 $y$ ，有 $U$ 属于集族 $\mathcal{N}_y$ 。

那么，我们称集族 $\mathcal{N}_x$ 的元素为点 $x$ 的邻域，而集族 $\mathcal{N}_x$ (即点x的所有邻域)称为点 $x$ 的邻域系。

可以直接利用邻域来定义出映射在某一点连续：映射 $f: x \mapsto y$ 是在点x是连续的，当且仅当，对 $y$ 点的任何一个邻域 $V$ ，都存在 $x$ 点的一个邻域 $U$ ，使得 $f(U) \subset V$ 。而连续映射即点点连续的映射。

类似的，拓扑也可以通过点和集合间的接近关系来定义。

[编辑] 闭包运算

我们考虑集合 $X$ 的幂集 $P (X)$ 上的一元运算 $c : P(X) \to P(X)$ 。

$\left( X, c \right)$ 称为一个拓扑空间，当且仅当，运算 $c$ 满足下述的库拉托夫斯基闭包公理：

K₁： $A \subseteq c(A) \!$ ；
K₂： $c(c(A)) = c(A) \!$ ；
K₃： $c(A \cup B) = c(A) \cup c(B) \!$ ；
K₄： $c(\varnothing) = \varnothing \!$ 。

运算 $c$ 被称为闭包运算，集合 $X$ 上的闭集是闭包运算的不动点。

利用闭包运算也可以定义连续映射：映射 $f$ 是连续的，当且仅当，对任意的集合 $A$ ， $f(c(A)) \subseteq c(f(A))$ 成立。

[编辑] 开核运算

我们还可以建立和闭包运算相对偶的开核运算，然后通过开核运算建立起拓扑空间。我们考虑集合 $X$ 的幂集 $P (X)$ 上的一元运算 $o : P(X) \to P(X)$ 。运算 $o$ 满足下述的开核公理：

I₁： $o(A) \subseteq A \!$ ；
I₂： $o(o(A)) = o(A) \!$ ；
I₃： $o(A \cap B) = o(A) \cap c(B) \!$ ；
I₄： $o(X) = X \!$ 。

运算 $o$ 被称为开核运算，集合 $X$ 上的开集是开核运算的不动点。

和闭包运算相对偶，利用开核运算也可以定义连续映射：映射 $f$ 是连续的，当且仅当，对任意的集合 $A$ ， $f^{-1}(o(A)) \subseteq o(f^{-1}(A))$ 成立。

[编辑] 网

[编辑] 拓扑空间的例子

实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
更一般的，n维欧氏空间Rⁿ构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b) 生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧氏拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧氏拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
流形都是一个拓扑空间。
每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
Zariski拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的谱之上或者某个代数簇之上。对Rⁿ或者Cⁿ来说，相应Zariski拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
A linear graph is a topological space that generalises many of the geometric aspects of graphs with vertices and edges.
泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
任何集合都可以赋予平凡拓扑。在平凡拓扑中只有空集和全集是开的。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T₁拓扑。
可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。

[编辑] 拓扑空间的构造

拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X → Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
Vietoris拓扑

[编辑] 拓扑空间的分类

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等，拓扑空间可以进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

[编辑] 分离性

更详细的资料请参照分离公理。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史

T₀或Kolmogorov：
T₁或Fréchet：
T₂或Hausdorff：
正则：
T₃或Regular Hausdorff：
完全正则：
T_3½, Tychonoff, 完全正则Hausdorff 或 完全T₃：
正规：
T₄或正规Hausdorff：
完全正规：
T₅或Completely normal Hausdorff.
离散空间：

[编辑] 可数性

可分的：空间是可分的，当它拥有一个可数的稠密子集。
Lindelöf：空间是Lindelöf的，如果每一个开覆盖都有一个可数子覆盖。
第一可数：空间是第一可数的，如果任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数：空间是第二可数的，如果空间拥有一个可数的基。

第二可数空间总是可分的；第一可数空间总是Lindelöf的。

[编辑] 连通性

连通：空间X是连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。等价地，一个空间是连通的，当且仅当该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者。
局部连通：一个空间是局部连通的，当且仅当该空间的每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。
完全不连通：空间是完全不连通的，当且仅当不存在非空的连通子集。
道路连通：空间X是道路连通的，当且仅当对空间的任意两点x和y，存在从x到y道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p(0) = x and p(1) = y。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通：一个空间是局部道路连通的，当且仅当该空间的每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。
单连通：
可缩：
Hyper-connected：
Ultra-connected：
离散的或平庸的：

[编辑] 紧性

[编辑] 可度量化

[编辑] 其他

[编辑] 拥有代数结构的拓扑空间

[编辑] 拥有序结构的拓扑空间

[编辑] 历史

参见拓扑学。

[编辑] 参考书目

John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

点集拓扑学初步 / 江泽涵-{著}-. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月.
点集拓扑学基础 / 吴东兴-{著}-. - 北京: 科学出版社, 1981年3月.
点集拓扑学原理 / 鲍姆-{著}-; 蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月.
一般拓扑学 / 李普舒茨-{著}-; 陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月.
一般拓扑学 / 凯莱-{著}-; 吴丛, 吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月.
拓扑学引论 / 本特·门德尔森-{著}-; 陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月.
基础拓扑学 / 阿姆斯特朗-{著}-; 孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月.
点集拓扑学 / 方嘉琳编-{著}-. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月.
拓扑学的基础和方法 / 野口宏-{著}-; 郭卫中, 王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月.
拓扑学初步 / 苏步青-{著}-. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月.
拓扑学基础教程 / 曼克勒斯-{著}-; 罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月.
基础拓扑学 / 何伯和, 廖公夫-{著}-. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月.
一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光-{著}-. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月.
拓扑学导论 / 鲍里索维奇等-{著}-; 盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月.
基础拓扑学讲义 / 尤承业编-{著}-. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.

点集拓扑系列 (编辑)
拓扑空间、同胚、子拓扑、积拓扑、商拓扑、序拓扑
邻域、内点、边界点、外点、聚点、孤立点
拓扑基、开集、闭集、开核、闭包
连通、连通空间、道路连通、道路连通空间
紧性：紧、可数紧、序列紧、聚点紧、局部紧
可数性：C1、C2；可分性、林德略夫性质
分离性：T0空间、T1空间、T2空间、T3空间、Тихонов空间、T4空间
Тихонов定理、Urysohn引理、度量化定理

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