位相空間

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この項目では数学における位相空間（topological space）について説明しています。物理学における位相空間（phase space）については位相空間 (物理)をご覧ください。

位相空間（いそうくうかん、topological space）とは、数学において、集合に要素どうしの近さや繋がり方に関する情報（位相、topology）を付け加えたものである。この情報は関数の連続性や点列の収束といった概念の源といえる。ある集合に位相を与えて位相空間とみなすことを、しばしば「位相を入れる」という。位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。

[編集] 位相空間を導入する意義

ユークリッド空間やその部分集合においては、点の間の距離をもちいて異なる点の間の近さを測ることができ、それに基づいた位相空間の構造が得られる。一般に、距離空間は最も想像しやすい種類の位相空間の例を与えているが、一方で距離空間の枠組みは柔軟性に欠ける面もある。幾何学においてはユークリッド空間（の開集合）と同相ないくつかの空間を基本的な部品とし、それらを張り合わせて得られるような空間が主な考察の対象となるが，この張り合わせはそれぞれの部品上に定まっている距離を保つとは限らない。

例えば，二次元の球面は二つの平面（二次元ユークリッド空間に同相な空間）を、それぞれから一点を取り除いて得られる領域を張り合わせることによって得られる。この張り合わせはそれぞれの平面を「ゆがめて」しまい，下の平面で考えていた距離は通常のやり方による球面の部品としての距離とは異なったものになる。

このような場合にも位相空間の商空間を考えることで、部品を張り合わせて作った空間上の位相を自然に定式化することが可能になる。

この他にも、積極的に位相空間を考える理由は存在する。無限次元ベクトル空間を扱う関数解析学の理論を見通しよく展開するにはベクトル空間に位相を入れて位相空間の一般論を用いることが必須であるし（位相ベクトル空間）、代数幾何学で用いられるザリスキ位相は、通常、距離から定めることのできないような位相である。現在では数学の各分野において位相空間が独特の方法で応用されているが、本項目では最も一般的な部分について述べる。

[編集] 定義

集合 X 上の位相（topology）とは、X の部分集合からなる族 $\mathcal{O}$ であって、以下を満たすもののことである。

$\emptyset, X\in\mathcal{O}$
$O_1, O_2\in\mathcal{O} \Rightarrow O_1\cap O_2\in\mathcal{O}$
$\mathcal{U}\subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup\mathcal{U}\in\mathcal{O}$

ここで 3. の条件は、 $\mathcal{O}$ の要素の任意個の和集合が再び $\mathcal{O}$ に属するということを意味する（この記号法については和集合を参照されたい）。

位相空間とは、集合 X とその上の位相 $\mathcal{O}$ との組 $(X, \mathcal{O})$ のことをいう。ここでの $\mathcal{O}$ の要素のことを位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の開集合（open set）といい、族 $\mathcal{O}$ をこの位相空間の開集合系という。以下、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ のことを単に位相空間 X と呼ぶ。なお、X の要素のことをしばしば位相空間 X の点と呼ぶ。ユークリッド空間の要素をふつう「点」と呼ぶのと同様である。

[編集] 閉集合・近傍

開集合をもとにして、位相空間の「閉集合」、および位相空間の点の「近傍」という概念が定義される。

A を位相空間 X の部分集合とする。A が閉集合（closed set）とは、補集合 X \ A が開集合となることである。x を X の点とするとき、A が x の近傍（neighborhood）とは、開集合 U であって x∈U かつ U⊂A なるものが存在することである。近傍であって開集合であるものを開近傍、近傍であって閉集合であるものを閉近傍という。以下が成立する。

閉集合の補集合は開集合である。
開集合はその任意の点の近傍である。逆に、この性質をみたす集合は開集合である。
とくに、X 自身は X の任意の点の近傍である（近傍は必ずしも「小さくはない」）。

[編集] 簡単な例

さきの 1.～3. は、ユークリッド空間の開集合という（位相空間よりも先に考えられていた）概念のみたす性質を抽象化したものである。ユークリッド空間 Rⁿ において、その部分集合 U が開集合というのは、U に属する任意の点 x に対して、十分小さい正の数 ε をとると x の周りの半径 ε の開球体が U に含まれることであった。いま、このようにして定義されたユークリッド空間の開集合の全体を $\mathcal{O}$ とすると、(Rⁿ, $\mathcal{O}$ )は上の条件 1.～3. を満たす。よって、

ユークリッド空間 Rⁿ は位相空間である。

もちろん、ユークリッド空間に上に述べたものとは違う方法で「開集合」の概念を定義しても、それが上の 1.～3. を満たしさえすれば、それは位相空間を定める。しかし通常の文脈でユークリッド空間と言った場合、上のように開集合を定義して位相空間と見なす

距離空間も、はじめに述べたように位相空間の重要な例である。距離空間には距離の概念があるため、「半径 ε の開球体」という概念がユークリッド空間と同様に定義でき、したがって開集合が同様に定義できる。そして開集合の全体が上記 1.～3. を満たすことも再び同様に確かめられる。よって、

距離空間は位相空間である。

ここでも、余程のことがない限り、距離空間は上に述べた方法で位相空間と見なされる。

集合上の位相の極端な例として、離散位相と密着位相がある。X を集合とするとき、X のすべての部分集合からなる位相を考えることができる。この位相を離散位相（discrete topology）といい、それを開集合系とする位相空間を離散空間（discrete space）という。また、空集合と X 自身のみからなる族 { Ø , X } も位相となる。この位相を密着位相といい、それを開集合系とする位相空間を密着空間という。離散空間は最も多くの開集合をもち、密着空間は最も少ない開集合をもつという意味で、この二つの例は両極端である。添字集合のように通常「近さ」の概念を考えない集合に位相を入れるときは、離散空間と見なす場合が多い。密着空間はのちに述べる分離公理をほとんど全く満たさないという意味で、ユークリッド空間からあまりにも遠く、利用される機会は稀である。

なお、正の整数全体 N や整数全体 Z は、通常の距離で距離空間（よって位相空間）とみなせば、離散空間となる。このことから、離散空間の命名の由来を窺うことができる。

[編集] 連続写像

二つの位相空間の間の写像が連続であることは簡潔に定義することができる。位相空間 X から位相空間 Y への写像 f が連続（continuous）であるとは、Y の任意の開集合 V に対して、その f による逆像 $f^{-1}(V)=\{x\in X\,|\,f(x)\in V\}$ が X の開集合となることである。

写像 f が連続であることは次のように言い換えられる。

X の任意の点 x と f(x) の任意の近傍 V に対して、x の近傍 U が存在して、f(U) ⊂ V となる。

ここで、最初の文言「X の任意の点 x と」を除くと、

f(x) の任意の近傍 V に対して、x の近傍 U が存在して、f(U) ⊂ V となる。

という x に関する条件になるが、この条件を「f は点 x において連続である」という。つまり、写像 f が連続であることは、その定義域 X の任意の点 x において f が連続であることと同値である。また、上の言い換えから、位相空間の間の連続写像は、実数の場合に ε - δ 論法で定義した連続関数の概念の自然な拡張になっていることが分かる。

次に挙げるものは連続写像の基本的な性質である。X, Y, Z を位相空間として、f を X から　Y への連続写像、 g を Y から Z への連続写像とする。

Y の任意の閉集合 F に対して、逆像 $f - 1 (F)$ は X の閉集合である。
合成 $g\circ f$ は X から Z への連続写像である。

[編集] 同相写像

二つの位相空間 X および Y に対して、X から Y への写像 f が同相写像（homeomorphism）であるとは、f が全単射でありかつ連続写像で、しかも逆写像 f^-1 が連続であることを意味する。このことは、写像　f によって X の点と Y の点とが一対一対応するのみならず、一方の開集合が他方の開集合に一対一対応しているということを意味する。X から Y への同相写像が存在するとき、X と Y とは同相（homeomorphic）であるという。定義から、同相写像の合成は同相写像であり、同相写像の逆写像は同相写像である。

たとえば、ユークリッド平面の部分空間である「三角形の周（X とする）」と「円周（Y とする）」は同相な二つの位相空間の例である。同相な二つの位相空間に常に共有される性質を位相的性質という。この例では、以下のような位相的性質を、実際に X と Y が共有している（以下では連結性の概念を用いる）。

連結である。
任意の 1 点を除いて得られる部分空間は連結である。
任意の異なる 2 点を除いて得られる部分空間は連結でない。

単位閉区間 I = [ 0 ,1 ] は X と同相でないし、よって Y とも同相でない。実際、I が X と同相なら、上記の位相的性質 2. を持っていなければならない筈だが、I から中点 1/2 を除いて得られる部分空間は連結でないからである。一般的に、二つの位相空間が同相でないことの証明には、一方がもち、他方がもたないような位相的性質を挙げることが有効である。位相幾何学（トポロジー）は主として位相的性質を取り扱う数学の分野である。例えば、上での X と Y との違いは位相幾何学では本質的な差とは見なさないが、X と I は本質的に異なると見なす。

[編集] 収束

詳細については、極限#位相空間を参照。

数列の収束と同様にして、位相空間内の点列の収束の概念を定義できる。 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ を位相空間 X 内の点列とする。この点列が X の点 x に収束するとは、x の任意の近傍 U に対して、ある自然数 N が存在して、 n ≥ N なるすべての n について x_n ∈ U となることである。この収束の定義は、実数列の収束の拡張となっている。

なお、各点収束の位相を入れた関数空間など通常の点列では不十分な空間で有意義な収束の概念を定式化するために、点列の拡張である有向点列やフィルターといった考え方が用いられる。このような一般化された収束の概念によっても一般の位相空間のコンパクト性や写像の連続性などを特徴付けることができる。また、収束している有効点列やフィルターの情報から空間の位相構造が復元できる。

[編集] 位相空間の構成

詳細については、位相空間の構成を参照。

集合には、部分集合をとる、、直和をとる、直積をとる、商集合をとるといった操作がある。これに対応して、位相空間にも、部分空間をとる、直和空間をとる、直積空間をとる、商空間をとるといった操作が定義される。たとえば X が位相空間のとき、 X を集合と考えて部分集合 A をとれば、この A に自然な位相が決まり、こうしてできた位相空間 A を X の部分空間という。また X と Y が位相空間のとき、集合の直積 X × Y には自然な位相が定まり、こうしてできた位相空間を X と Y との直積空間という。

[編集] 閉包・内部

以下に示す概念は、ユークリッド空間という特殊な場合に元々考えられていたものなので、その場合を想像することが理解の助けになると思われる。X を位相空間とし、A をその部分集合とする。

A の閉包（closure）とは、次の条件を満たす X の点 x 全体の集合である：「x の任意の近傍 V に対して、VはAと交わる。」集合 A の閉包を Cl A または $\overline{A}$ で表す。
A が X の稠密（dense）な部分集合であるとは、A の閉包が X に一致することである。つまり、X の任意の点の任意の近傍が、A と交わることである。
A の内部（interior）または開核とは、次の条件を満たす X の点 x 全体の集合である：「A は x の近傍である。」このとき x は A の内点（interior point）であるという。集合 A の内部を Int A または $A^\circ$ で表す。
A の境界（boundary, frontier）とは、A の閉包に属するが A の内部には属していない点の全体である。集合 A の境界を　Bd A, Fr A または $\partial A$ と書く。最後の記法は多様体の境界という別の概念にも使われるので、注意を要する。

以上の概念について次が成立する。

閉包 Cl A は A を含む最小の閉集合である。
内部 Int A は A に含まれる最大の開集合である。
境界 Bd A は閉集合であって Cl A に含まれる。
Int A ⊂ A ⊂ Cl A, Int A = X \ Cl (X \ A), Bd A = Cl A ∩ Cl (X \ A)

[編集] 基本近傍系

ユークリッド平面 R² を位相空間と考え、その上に任意に固定した点 p を考える。 p の近傍であるような R² の部分集合は多種多様であるが、どのような近傍 V についても、十分に大きな正の整数 n を選べば、p を中心とする半径 1/n の開円板 $B (p,1 / n)$ が V に含まれる。もちろんこの開円板は p の近傍である。以上から、開円板の族 $\{B(p,1/n)|n\in\mathbb{N}\}$ がある意味でp の近傍たちを代表していると考えられるが、このような近傍の族を基本近傍系（neighborhood base, fundamental system of neighborhoods）と呼ぶ。

正確な定義は以下の通り。p が位相空間 X の点であるとき、p の近傍からなる族 $\mathcal{U}$ が p の基本近傍系であるとは、p の任意の近傍 V に対して、 $\mathcal{U}$ の要素 U が存在して、U⊂V が成立することである。

もちろん、p が決まってもその基本近傍系は一通りには決まらない。たとえば上の例では、「p を中心として軸に平行な辺をもった一辺 1/n の開正方形全体」も基本近傍系である。また、p の近傍すべてからなる族も基本近傍系である。

[編集] 閉包、基本近傍系と位相

閉包、基本近傍系という概念はそれ自身よく使われるが、逆に「閉包をとることで集合がどう変化するか」あるいは「各点にどのような基本近傍系があるか」という情報さえ与えられれば、それだけで位相空間の開集合系を復元することができる。実際、

集合 A が閉集合であることは、A = Cl A が成立することと同値。よって、「A = Cl A が成立するような集合 A の補集合」がちょうど開集合になっていることが分かる（閉包から開集合へ）。
集合 A が開集合であることは、A の任意の点 x について A が x の近傍となっていることと同値。よって、各点 x にその基本近傍系 $\mathcal{U}(x)$ が定まっているものとすると、「その任意の点 x について、 $\mathcal{U}(x)$ 　の要素 U を適当に選んで U⊂A とできるような A」がちょうど開集合になっている（基本近傍系から開集合へ）。

したがって、閉包の操作、あるいは各点の基本近傍系を開集合系以前に指定することによっても結果として位相空間を定めることができる。しかし、位相空間の部分集合から部分集合へのあらゆる対応が閉包の操作として許される訳ではない。たとえば、A の閉包は、必ず A を含む集合でなければならない（さもないと、どんな位相空間によってもその閉包操作は実現されない）。基本近傍系の指定の仕方も、全く任意という訳にはいかない。実際、これらが位相空間を定めるには以下に述べる条件を満たすことが必要十分であることが知られている。

[編集] 閉包の操作の満たすべき条件

集合 X の各部分集合 A について X 部分集合 Cl A が定まっているとしよう。この操作 Cl が閉包の操作となるような位相が定まるための必要十分条件は A, B を X の任意の部分集合とするとき、次が成り立つこと。

Cl Ø = Ø
A ⊂ Cl A
Cl (Cl A)=A
Cl (A ∪ B)=Cl A ∪ Cl B

[編集] 基本近傍系の満たすべき条件

集合 X の各点 x に対して X の部分集合からなる族 $\mathcal{U}(x)$ が定まっているとする。このとき、各 x に対して $\mathcal{U}(x)$ が x の基本近傍系となるような位相が定まるための必要十分条件は、次が成り立つこと。

U ∈ $\mathcal{U}(x)\,\Rightarrow$ x ∈ U
U₁, U₂ ∈ $\mathcal{U}(x)\,\Rightarrow$ U₁ ∩ U₂ ∈ $\mathcal{U}(x)$
U ∈ $\mathcal{U}(x)$ かつ　U ⊂ V ⊂ X $\Rightarrow$ V ∈ $\mathcal{U}(x)$
U ∈ $\mathcal{U}(x)$ に対してある V ∈ $\mathcal{U}(x)$ を選んで、V ⊂ U かつ任意の y ∈ V に対して U ∈ $\mathcal{U}(y)$ となるようにできる。

このような条件さえ確かめておけば、閉包の概念や基本近傍系の概念をはじめに定義しても、位相空間を定めうる。つまり、閉包や基本近傍系は、開集合と同様の資格をもって、「近さ」の概念を定めると考えられる。冒頭では三つの性質をみたす集合の族として「位相」を定義したが、位相とは開集合、閉包、基本近傍系のいずれによっても定義できる集合 X 上の情報である、として定義するのが曖昧さは残るがより本質に近いといえるだろう。

なお、開集合の満たすべき三性質にド・モルガンの法則を適用すれば、閉集合の概念を定義しても位相が定まることが分かる。すなわち次の通り。

[編集] 閉集合の満たすべき条件

$X$ の部分集合族 $\mathcal{C}$ が閉集合の全体となるような位相が定まるための必要十分条件は、次が成り立つこと。

$\emptyset, X\in\mathcal{C}$
$C_1, C_2\in\mathcal{C} \Rightarrow C_1\cup C_2\in\mathcal{C}$
$\emptyset\neq\mathcal{F}\subset \mathcal{C} \Rightarrow \bigcap\mathcal{F}\in\mathcal{C}$

なお、 $\bigcap\mathcal{F}$ は $\mathcal{F}$ に属するすべての集合の共通部分を表す（共通部分の項を参照）。

閉包、基本近傍系、あるいは閉集合の概念をもちいて位相を定義する方法は、しばしば便利であり利用される。

[編集] 開基と準開基

一般に位相空間の開集合は多種多様であって、容易に制御できない。これはユークリッド平面の開集合の様子からも想像されよう。しかし、ユークリッド平面のあらゆる開集合は、（一般には無限個の）開円板の和集合として表すことができる。実際、U を開集合とすると、 U の各点 x に対して、 x を中心とする半径の十分小さい開円板 B_x は U に含まれるから、このような B_x すべての和集合 $\bigcup_{x\in X}B_x$ は U に等しい。この例での開円板たちのような役割を果たすものとして開基を定義しよう。

位相空間 X の部分集合の族 $\mathcal{B}$ が位相空間 X の開基（open base, open basis）、ないし X 上の位相の開基であるとは、次の二条件が満たされることである。

$\mathcal{B}$ の要素はすべて開集合である。
X の任意の開集合 U に対して、 $\mathcal{B}$ の適当な部分集合 $\mathcal{B}'$ をとると U = $\bigcup\mathcal{B}'$ が成立する。

これは次のように言い換えてもよい。開集合からなる族 $\mathcal{B}$ が X の開基とは、X の任意の開集合 U の任意の点 x に対して、x ∈ B ⊂ U を満たす $\mathcal{B}$ の要素 B が存在することである。

基本近傍系が位相を定めるように、開基を指定することで位相を定めることができる。実際、「開基に属する集合の任意個の和集合」が、ちょうど開集合になっているから、開基は開集合系を復元することができる。そのとき開基 $\mathcal{B}$ が満たさなければならない条件を述べる。

[編集] 開基の満たすべき条件

集合 X の部分集合族 $\mathcal{B}$ が X 上のある位相の開基であるための必要十分条件は以下の通り。

$\bigcup\mathcal{B}=X$
任意の B₁, B₂ ∈ $\mathcal{B}$ および任意の x ∈ B ₁ ∩ B₂ に対して、ある B ∈ $\mathcal{B}$ が存在して、x ∈ B ⊂ B₁ ∩ B₂ となる。

上の条件 2. を見る限り、「勝手に」部分集合族 $\mathcal{B}$ を与えたところで、それが位相を定めるとは期待しがたい。しかし、準開基という概念によってその制約は緩和される。位相空間 X の部分集合族 $\mathcal{S}$ が X の準開基（open subbase, open subbasis）であるとは、集合族

$\mathcal{S}'=\left\{\bigcap_{i=1}^n S_i\,\bigg|\,n\in\mathbb{N},\,S_i\in \mathcal{S}\right\}$

が、つまり $\mathcal{S}$ の要素の任意有限個の共通部分の全体が、位相空間 X の開基をなすことである。

[編集] 準開基の満たすべき条件

一般に集合 X の部分集合の族 $\mathcal{S}$ が X 上のある位相の準開基であるための必要十分条件は以下の通り。

$\bigcup\mathcal{S}=X$

要するに X の部分集合族がある位相の準開基であるためには、それが X を被覆していればよい。たとえば、実数直線 R の例でいえば、片方に無限に伸びた半開区間 $(a, +\infty)$ および $(-\infty, b)$ （但し a, b は実数）の全体は準開基をなす。

ある位相の開基は、同じ位相の準開基にもなっていることに注意する。位相空間 X が準開基（とくにそれは開基でもよい） $\mathcal{S}$ をもっているとき、X の位相は $\mathcal{S}$ によって生成されるという。

[編集] コンパクト性、連結性

詳細については、コンパクト性および連結性を参照。

コンパクト性とは、ユークリッド空間における有界閉集合の概念に相当するもので、一般に位相空間がコンパクトであることを定義できる。たとえば、単位閉区間 [ 0, 1 ] はコンパクトな位相空間であるが、実数直線 R はコンパクトでない位相空間である。また、連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」という性質である。閉区間 [ 0, 1 ] は連結性をもつ（連結である）が、二つの交わらない閉区間を合併した [ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ] という位相空間は連結ではない。

[編集] 分離公理

詳細については、分離公理を参照。

位相空間内に相異なる二点 x, y が与えられたとき、その二点を分離するような開集合をとりたいことが、位相空間の議論ではしばしば生ずる。「分離する」の意味には色々あるが、一例として、x を要素とする開集合 U と y を要素とする開集合 V とを、U と V とが交わらないように取りたい、という場合がある。（このようなことが常に可能な空間をハウスドルフ空間という。）より強く、位相空間内の交わらない二つの部分集合についても、一定の条件下で分離が可能であると便利なことがある。この類の「分離」が可能であると主張する性質を一般に分離公理と呼び、その強さにいくつかの段階がある。一般に、距離空間に近い位相空間であるほど強力な分離公理を満たす。なお、公理という名が付いているが、自明に成立する主張といった意味ではなくコンパクト性、連結性と同じく位相空間の一つの性質である。

[編集] この他の諸性質

詳細については位相空間の諸概念を参照。

一般の位相空間についても、連続性や収束を大枠において論じることができる。しかし、当然のことながら、ユークリッド空間がもつような「都合のよい」性質がすべての位相空間で成り立つ訳ではない。個々の位相空間を取り扱うには、その位相空間がどのような点でユークリッド空間に類似し、どのような点が違うのかを明確に知っておくことが重要である。

位相空間についての性質は、上に挙げたコンパクト性、連結性などの他にも色々考えられるが、よく用いられるものの多くはユークリッド空間について成り立つ性質の一つを取り出してきたものである。このような性質の有無を知ることにより、どのような議論がユークリッド空間と並行してできるのかを識別できる。例えば局所コンパクト性とは、各点がコンパクトな近傍をもつという性質であるが、これはユークリッド空間について成り立つ性質の一つである。しかし、この性質は整数論で用いられるp進数体 Q_p についても成立する。

ユークリッド空間については成立しない性質の中にも注目に値するものがあり、時として利用される。たとえば、連結な部分空間が一点に限られる空間を完全不連結というが、これはユークリッド空間にはない性質である。有理数全体 Q はこの性質を満たすし、またp進数体 Q_p もこの性質を満たす。一方、Q は局所コンパクトではない。

[編集] 歴史

集合論の創始者ゲオルク・カントールはユークリッド空間の開集合や閉集合などについても研究したが、これが位相空間の研究のはじまりである。カントールの行ったような位相空間の古典的な研究は、点集合論と呼ばれる。その後、モーリス・フレシェはユークリッド空間から離れて距離空間において極限の概念を考察し、さらにその後フェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第に現代のような一般の位相空間の形に整えられていった。

この項目「位相空間」は、数学に関連した書きかけの項目です。加筆・訂正などをして下さる協力者を求めています。