完全数

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完全数(-{Perfect number}-，又稱完美數或完備數)是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因數函數），恰好等於它本身。

例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4 + 7 + 14＝28。后面的数是496、8128。

[编辑] 完全數的發現

古希腊数学家欧几里德是通过 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) 的表达式发现头四个完全数的。

当 n = 2: 2¹(2² − 1) = 6

当 n = 3: 2²(2³ − 1) = 28

当 n = 5: 2⁴(2⁵ − 1) = 496

当 n = 7: 2⁶(2⁷ − 1) = 8128

欧几里德证明了：一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式： $2 n - 1 (2 n - 1)$ 。

其中 $2 n - 1$ 是素数，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2ⁿ − 1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是 $12 p + 1$ 或 $36 p + 9$ 的形式，其中p是素数。在 $1018$ 以下的自然数中奇完全数是不存在的。

首八個完全數是： 6，28, 496, 8128, 33550336, 8589869056(10位), 137438691328(12位), 2305843008139952128(19位)... (OEIS:A000396)

[编辑] 历史

古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为2，3，5，7恰好是头4个素数，第五个完全数应该是第五个素数即当n＝11的时候，可是 $2^{11}-1=23 \times 89$ 并不是素数。因此n＝11不是完全数。另外两个错误假设是：

头四个完全数分别是1，2，3，4位数，第五个应该是5位数。
完全数应该是交替以6或者8结尾。

而事实上，第五个完全数 $33550336 = 2 12 (2 13 - 1)$ ，是8位数。对于第二个假设，第五个完全数确实是以6结尾，但是第六个完全数8 589 869 056仍是以6结尾。

[编辑] 奇妙性质

偶完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。
除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加,直到变成個位数,那么这个個位数一定是1：（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1。）

28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1

所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从 $2 p - 1$ 到 $2 2 p - 2$ :

6= $21 + 2 2$ 
28= $22 + 2 3 + 2 4$ 
8128= $26 + 2 7 + ... + 2 12$ 
33550336= $212 + 2 13 + ... + 2 24$

每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7；
496=1+2+3+…+30+31

除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有 $\sqrt{2^{p-1}}$ )：

28= $13 + 3 3$ 
496= $13 + 3 3 + 5 3 + 7 3$ 
8128= $13 + 3 3 + 5 3 + ... + 15 3$ 
33550336= $13 + 3 3 + 5 3 + ... + 125 3 + 127 3$

每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以通分母證得。因此每個完全數都是調和數。）

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如 $2 n - 1 (2 n - 1)$ ）

 $(6) 10 = (110) 2$ 
 $(28) 10 = (11100) 2$ 
 $(496) 10 = (111110000) 2$ 
 $(8128) 10 = (1111111000000) 2$ 
 $(33550336) 10 = (1111111111111000000000000) 2$ 
 $(8589869056) 10 = (111111111111111110000000000000000) 2$ 
 $(137438691328) 10 = (1111111111111111111000000000000000000) 2$

[编辑] 完全數猜想

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数。到1998年为止，人们只发现了37个完全数，且都是偶数。1998年发现的最大完全数为2^3021376（2^3021377-1）。

[编辑] 奇完全數

用计算机已经证实了，在10¹⁰⁰以下，没有奇的完全数；至今还证明了，如果奇的完全数存在，则它至少包含8个不同素数。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

Carl Pomerance 提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。 [1]

[编辑] Touchard定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如 $12 m + 1$ 或 $36 q + 9$ 。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明，1951年 van der Pol用非線性偏微分方程得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這三個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）