Совершенное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Соверше́нное число́ — натуральное число, равное сумме всех своих младших делителей (т. е. всех делителей, отличных от самого́ числа). Совершенное число — это число, дружественное самому себе.

Первое совершенное число — 6 (1 + 2 + 3 = 6), следующее — 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8 128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056.

Евклид обнаружил, а Эйлер позднее строго доказал, что каждое чётное совершенное число можно представить в виде 2^{p - 1}(2^p - 1), где p такое, что 2^p - 1 является простым числом. Числа вида 2^p - 1 называются числами Мерсенна, каждому простому числу Мерсенна соответствует чётное совершенное число, и наоборот. В двоичном виде любое чётное совершенное число можно представить как 111…1000…0, где число единиц и нулей равно соответственно p и p−1.

Вопрос о существовании нечётного совершенного числа открыт до сих пор. Известно, что если такое число существует, то оно должно быть больше 10³⁰⁰.

Неизвестно также, бесконечно ли количество всех совершенных чисел.

[править] История изучения

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев, хотя в их время были известны только 2 первых совершенных числа. В частности, Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. являются треугольными числами):

6	= 1 + 2 + 3,
28	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31,
8128	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127.

Кроме того, одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа , , и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2ⁿ, где n — число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа, т. е. все степени двойки слегка недостаточны:

22		= 4,	1 + 2	= 3,
23		= 8,	1 + 2 + 4	= 7,
24		= 16,	1 + 2 + 4 + 8	= 15,
25		= 32,	1 + 2 + 4 + 8 + 16	= 31,

Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что каждое чётное совершенное число имеет вид 2^{p - 1}(2^p - 1), где 2^p - 1 является простым числом. Благодаря этой формуле Евклид сумел найти третье и четвёртое совершенные числа. Пятое совершенное число по формуле Евклида удалось найти только в XVI веке.

Так как каждому чётному совершенному числу соответствует некоторое простое число Мерсенна (и наоборот), то открытие новых чётных совершенных чисел равносильно открытию новых простых чисел Мерсенна, распределённым поиском которых занимается проект GIMPS. На данный момент (ноябрь 2006) известно 44 простых числа Мерсенна, а значит, и 44 чётных совершенных числа.

Доказано, что все чётные совершенные числа являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: (1³+3³+5³+…). Кроме того, известно, что сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его самого), равна 2.

[править] См. также

• Избыточные числа
• Недостаточные числа
• Слегка избыточные числа
• Слегка недостаточные числа
• Дружественные числа
• Полусовершенные числа
• Квазисовершенные числа

[править] Ссылки

• Депман И., Совершенные числа, Квант, №4, 1975.
• Последовательность A000396 из Энциклопедии целочисленных последовательностей