Leonhard Euler

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Leonhard Euler, švicarski matematik, fizik in astronom, * 15. april 1707, Basel, Švica, † 18. september 1783, Sankt-Peterburg, Rusija.

Leonhard Euler

[uredi] Življenjepis

Euler je objavil kar približno 530 (po nekaterih virih skoraj 900) knjig, razprav in člankov. Bil je sin protestantskega duhovnika, ki je tudi sam negoval precejšnjo naklonjenost do matematike. Euler je imel srečo, da je v Baslu tedaj živel Jakob Bernoulli I. Ta je opazil mladeničevo izredno nadarjenost in ni mu bilo težko bdeti nad trojico izredno obetavnih mladeničev, nad svojima sinovoma Nicholasom in Danielom ter Eulerjem. Vsi trije so kmalu postali vodilni matematiki tedanjega časa.

Leta 1727 je Euler odpotoval v Rusijo na Univerzo v Sankt-Peterburg. Takrat sta na njej predavala Daniel in Nicholas Bernoulli, ki sta Eulerja tudi priporočila vodstvu akademije. Eulerjevo namero je tedaj preprečila smrt carice Katarine I., ki je podpirala delo na akademiji. Ko se je kasneje Daniel Bernoulli, naveličan tamkajšnjih nevzdržnih razmer, vrnil v Basel, je Euler leta 1733 postal na univerzi glavni predavatelj matematike. Akademija znanosti v Parizu je leta 1735 razpisala nagrado za izdelavo metode določanja natančnega časa s pomočjo opazovanja višine Sonca. Eulerju je uspelo izračunati potrebne tabele po svoji novi metodi v vsega treh dneh. Žal je pri tem zaradi pretiranega dela zbolel za hudo živčno mrzlico in oslepel na desno oko. To pa ni prekinilo njegovega raziskovalnega dela in silovitega toka izdajanja matematičnih del.

Leta 1741 je na povabilo Friderika Velikega odšel v Berlin in na pruski univerzi prevzel vodstvo matematičnega oddelka. Čeprav je tam preživel kar četrt stoletja in v tem obdobju napisal precej svojih pomembnejših del, se na Friderikovem dvoru ni nikoli popolnoma vživel. Dvorni blišč mu je bil tuj. Friderik ga je sicer podpiral in mu dajal v izvedbo številna pomembna javna dela, a so osebna nasprotja med njima kljub temu naraščala iz leta v leto. Tako se je Euler leta 1766 na povabilo Katarine II. Velike vrnil v priljubljeni Sankt-Peterburg in ostal tam do smrti. Dobri dve leti po prihodu v Rusijo je oslepel še na levo oko. Kljub popolni slepoti pa je v teh zadnjih letih še povečal svoje delo pri izdajanju matematičnih del. Njegov dober spomin mu je omogočal, da je svoja odkritja zasnoval kar v mislih in članke narekoval na pamet.

Leonhard Euler

Leta 1771 je njegovo hišo zajel požar in mu uničil večji del rokopisov. Kasneje mu jih je večina uspelo obnoviti in celo izboljšati. Pet let zatem mu je umrla žena, na katero je bil zelo navezan. V srečnem zakonu sta imela kar 13 otrok. Zadnji problem, s katerim se je ukvarjal, je bil povezan s tirom tedaj novo odkritega planeta Urana. Umrl je sredi dela.

[uredi] Delo

Leta 1744 je objavil svoje najpomembnejše delo Theoria motuum planetarum et cometarum. Leta 1748 je objavil delo Uvod v neskončno analizo (Introductio in analysin infinitorum). To delo imajo za eno najvplivnejših del sodobnega časa. V njem se prvič pojavi funkcija v vlogi temeljnega pojma matematične analize in hkrati univerzalnega povezovalca različnih matematičnih poglavij. Obsega 2. knjigi in obravnava več matematičnih področij. 1. knjiga je zbirka besedil, ki jih danes uvrščamo v algebro, teorijo enačb in trigonometrijo. V algebri je obravnaval neskončne vrste in razvoj funkcij v vrste. Tako srečamo v tem delu vrste za $e x$ , $sin x$ , $cos x$ in podobno. Tudi poglavje, namenjeno verižnim ulomkom, je v tesni povezavi z razvoji v vrste. V poglavjih iz trigonometrije mu je uspelo prenesti trigonometrijo s področja astronomije in geometrije v domeno matematične analize. Kotne funkcije je kot prvi prenehal opisovati le s številskimi razmerji. V poglavjih o trigonometriji srečamo njegovo znamenito enačbo, ki jo je našel že leta 1740. Enačba povezuje med drugim dve do tedaj nevede znani transcendentni števili; osnovo naravnih logaritmov e in Ludolfovo število $π$ :

e i x = cos x + i sin x

ali:

$e^{i \pi} = -1 \; .$

Z enačbo je bilo mogoče povezati eksponentno funkcijo $e x$ s trigonometričnimi funkcijami. To povezavo izražata Eulerjevi enačbi:

$\sin x = {e^{i x} - e^{-i x} \over 2i} \; , \; \cos x = {e^{i x} + e^{-i x} \over 2} \; .$

Velja še na primer:

$i^i = e^{-\pi /2} \; .$

2. knjiga je namenjena analitični geometriji. Že v uvodu je med krivulje uvedel razdelitev na algebrske in transcendentne. Potem je podrobneje obravnaval algebrske krivulje 2. stopnje s splošno enačbo:

$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \; .$

Izdelal je še razporeditev algebrskih krivulj višjih stopenj. Tudi ploskve je podobno obravnaval in pri tem uvedel pomembno novost, pojem ukrivljenosti ploskve. Zaradi tega ga štejemo za začetnika diferencialne geometrije.

Leta 1755 je objavil svojo drugo veliko knjigo Institutiones calculi differentialis. Predhodni Uvod si je zamislil le kot uvod za to delo. To je sploh prvi obsežnejši učbenik diferencialnega računa. Sledili so mu trije deli Institutiones calculi integralis, ki so izhajali od leta 1768 do 1770. V poglavjih o diferencialnem in integralnem računu je podal mnogo novih integracijskih metod. Podobno je tudi v teoriji diferencialnih enačb, kjer je prispeval nove tehnike za reševanje enačb. Večina poglavij je bogato opremljena s slikami in s praktičnimi primeri iz matematike in fizike. Uvedel je posplošitev pojma fakultete s funkcijo Γ:

$\Gamma (x) = \left\{\begin{matrix} \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt, & x > 0 \\ \lim_{n\to \infty} \; {n! \; n^{x-1}\over x (x+1) (x+2) ... (x+n-1) }, & x \in \mathbb{R} \end{matrix}\right. \; ,$

kjer se zgornji integral imenuje po njem. Nepopolna funkcija $Γ$ je določena z:

$\Gamma (a,x) = \int_0^\infty t^{a-1} e^{-t} dt \; ,$

posplošena nepopolna funkcija $Γ$ pa z:

$\Gamma (a, x_0) - \Gamma (a, x_1) = \int_{x_0}^{x_1} t^{a-1} e^{-t} dt \; .$

Osnovne lastnosti funkcije $Γ$ so:

$\Gamma (x + 1) = x \Gamma (x) \; ,$

$\Gamma (n) = (n-1)! \; ; \; n \in {}^{+}\!\mathbb{Z} \; ,$

$\Gamma (n+1) = n! \; ; \; n \in {}^{+}\!\mathbb{Z} \; ,$

$\Gamma (1) = 1 \; ,$

$\Gamma (x) \Gamma (1 - x) = {\pi \over \sin \pi x} \; ,$

$\Gamma (x) \Gamma \left( x + {1\over 2} \right) = {\sqrt{\pi} \over 2^{2x - 1} } \Gamma (2x) \; ,$

$\Gamma (x) {d^2 \Gamma (x) \over dx^2 } > \left( { d\Gamma (x)\over dx} \right) ^2 \; .$

Znane so njegove funkcije $β$ , definirane kot:

$B (x,y) = {\Gamma (x) \Gamma (y) \over \Gamma (x + y) } = \int_0^1 t^{x-1} (1 - t)^{y-1} dt$

in še nepopolna funkcija $β$ ;

$B_z (x,y) = \int_0^z t^{x-1} (1 - t)^{y-1} dt \; ,$

ter posplošena nepopolna funkcija $β$ :

${}_{0} B_z (x,y) = \int_{z_0}^{z_1} (1 -t)^{y-1} dt \; .$

Leta 1735 je določil Euler-Mascheronijevo konstanto γ kot:

$\gamma = \lim_{n\to \infty} \left( 1 + {1\over 2} + {1\over 3} + ... + {1\over n} - \ln n \right) \cong 0,577215665 \; .$

Ni znano ali $γ$ spada v množico transcendentnih števil ali v množico iracionalnih števil. Danes jo lahko izračunamo na okoli $106$ števk natančno. Z veliko manjšo natančnostjo pa lahko izračunamo Meissel-Mertensovo konstanto M₁ ali Brunovo konstanto za praštevilske dvojčke $B 2$ ali Brunovo konstanto za praštevilske bratrance (četvorčke) $B 4$ . Znani so njegovi Eulerjevi polinomi, določeni z:

${2 e^{xt} \over e^t + 1} = \sum_{i=0}^{\infty} E_i (x) {t^i\over i!} \; ,$

kjer so $E n$ Eulerjeva števila.

V teoriji števil je uvedel aritmetično Eulerjevo funkcijo φ(n), ki pove koliko je naravnih števil, ki so manjša od n in so številu n tuja, ali drugače, ki so manjša od n in so n relativno praštevila. Na primer $φ(6) = 2$ , ker sta števili 1 in 5 številu 6 tuji; $φ(8) = 4$ ; $φ(15) = 8$ in

$\phi (E_{10}) = \phi (370371188237525) = 296289850611840 = 2^7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 251 \cdot 8623 \; .$

Če je n sámo praštevilo p, velja $φ(p) = p - 1$ . Če je $n = p m$ potenca kakega praštevila, je $φ(n) = φ(p m) = p m - 1 (p - 1)$ . Če sta si a in b tuji števili, za funkcijo velja:

$\phi (ab) = \phi (a) \phi (b) \; .$

Leta 1732 je Euler ovgel de Fermatovo domnevo iz leta 1640, da so vsa števila oblike $F_n = 2^{2^n} + 1$ Fermatova praštevila. Z razcepom:

$F_5 = 2^{2^5} = 2^{32} + 1 = 641 \cdot 6700417 = (2^7 \cdot 5 +1)(2^7 \cdot 3 \cdot 17449 +1) = 4294967297$

je dokazal, da je $F 5$ sestavljeno. Razcep $F 6$ je našel šele leta 1880 F. Landry, razcep $F 7$ sta našla leta 1971 Brillhart in Morrison z računalnikom IBM 360-91, razcep $F 8$ sta našla leta 1981 Brent in Pollard z računalnikom Univac. Leta 1990 pa sta A. Lenstra iz družbe DEC iz New Jerseyja in M. Menejs iz Kalifornije razcepila $F 9$ , po nekaj tednih dela na mreži 1000 računalnikov s pomočjo 200 matematikov. Euler je prišel do svoje ugotovitve preko testa z deljenjem. Posebna ironija se skriva v dejstvu, da sam mali Fermatov izrek pokaže, da $F 5$ ni praštevilo. To preverimo takole: če je p praštevilo, je $3^{p-1}\;\hbox{mod}\; p=1$ . Za $p = F 5$ dobimo $3^{p-1}\;\hbox{mod}\; p = 3029026160$ , in tako $F 5$ ne more biti praštevilo. Evklid je v 9. knjigi Elementov dokazal, če je Evklid - Mersennovo število $E n = 2 n - 1$ praštevilo, je število $2 n - 1 E n$ popolno. Euler je leta 1770 v svojem delu Algebra naprej pokazal, da je takšne oblike vsako sodo popolno število. S tem je odkril tesno povezavo med Mersennovimi praštevili in popolnimi števili. Iz nje takoj izhaja, da je sedaj poznano natančno 39 sodih popolnih števil. Nismo pa našli še nobenega lihega popolnega števila. Domnevajo, da so vsa popolna števila le soda. (Mersenne, Nikomah). Ve se, da mora biti vsako liho popolno število, če obstaja, večje od $10300$ in mora vsebovati najmanj 11 različnih prafaktorjev.

Leta 1747 je Euler objavil seznam 30 parov prijateljskih števil. (glej al-Baghdadi, Pitagora, Tabit ibn Kora). Par največjih dveh prijateljskih števil v seznamu je bil:

$1084730902983 = 3^5 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 53 \cdot 6959 \; ,$

$1098689026617 = 3^5 \cdot 7^2 \cdot 19 \cdot 179 \cdot 2087 \; .$

Od leta 1747 do 1750 je prijateljskim številom namenil 3 članke. S svojo novo metodo mu je uspelo poiskati kar 66 novih parov prijateljskih števil. Ob vsem svojem trudu in sistematičnem iskanju je spregledal 2. najmanjši par prijateljskih števil 1184 in 1210, ki ga je kasneje leta 1866 našel Paganini.

Euler je posplošil mali Fermatov izrek: za vsak modul n in poljuben cel a, ki je tuj n (n in a nimata skupnega faktorja), velja $a^{\phi(n)} = 1\;\hbox{mod}\; n$ , kjer je $φ(n)$ Eulerjeva aritmetična funkcija. Na ta izrek lahko gledamo kot posledico Lagrangeovega izreka, uporabljenega na multiplikativno grupo, ki vsebuje vse razrede ostankov pri deljenju po modulu n, ki so n tuji. Lahko ga dokažemo tudi neposredno: množenje z a permutira razrede ostankov pri deljenju po modulu n, ki so n tuji. Ali z drugimi besedami, če označimo z R množico vseh takšnih razredov, sta množici $\lbrace x: x \in R\rbrace$ in $\lbrace ax: x \in R\rbrace$ enaki. Zatorej sta tudi njuna produkta enaka. Tako je $P=a^{\phi(n)} = 1 (\hbox{mod}\; n)$ .

Leta 1749 je Euler po 7. letih trdega dela dokazal Fermatovo trditev, da je vsako praštevilo oblike $4 n + 1$ vsota dveh kvadratov kot na primer: $4.1 + 1 = 1 2 + 2 2$ , $4.3 + 1 = 2 2 + 3 2$ , $4.9 + 1 = 1 2 + 6 2 = 37$ , $4.10 + 1 = 4 2 + 5 2 = 41$ ali $4.25 + 1 = 1 2 + 10 2 = 101$ . Če število oblike $4 n + 1$ ni praštevilo, to seveda ne velja kot na primer $4.2 + 1 = 3 2 = 9$ ali $4.5 + 1 = 3.7 = 21$ . Kot osnova naravnih logaritmov in eksponentne funkcije $e x$ je znano Eulerjevo število, določeno z:

$e = \lim_{n\to \infty} \left( 1 + {1\over n} \right) ^n = \lim_{n\to 0} (1 + n)^{1/n} \cong 2,71828 \; .$

Prvič se je pojavila leta 1736 v njegovem delu Mechanica, kjer je $e x$ določil kot:

$e^x = \lim_{n\to \infty} \left( 1 + {x\over n} \right) ^n \; .$

Leta 1737 je Euler dokazal, da je e iracionalno število. V manj kot 80. urah je izračunal vseh 128 decimalk $π$ -ja in je prvi uporabil grško črko $π$ za oznako razmerja obsega in premera krožnice, oziroma razmerja površine in kvadrata polmera kroga, kot začetno črko grške besede periferia, kar pomeni obseg ali tudi kot začetno črko besede perimeter kot polmer. Pred njim so to stalnico označevali z $π / ρ$ kot začetni črki besed perimetros in diametros - premer.

Leta 1748 je trdil, da je logaritem števila b z osnovo a (a in b sta racionalna) ali racionalno število ali ni koren, ker:

${a\over \sqrt{n} } = b$

ne more veljati. Lambert je, opirajoč se na Eulerjevo delo, leta 1761 dokazal, da za racionalni x, števili $e x$ in $\textrm{tg}\; x$ ne moreta biti racionalni. S tem je pokazal, da sta posebej e in $π$ iracionalni števili.

V topologiji je znan njegov Eulerjev izrek o pravilnih poliedrih, kjer za vsak pravilen konveksni polieder ali po zvezni deformaciji konveksni polieder, če je e število oglišč, k število robov in f število mejnih ploskev poliedra, velja:

$e - k + f = 2 \; .$

Postavil je trditev, da ne obstajajo rešitve enačbe:

u 6 + v 6 + w 6 + x 6 + y 6 = z 6

v pozitivnih celih številih. Trivialna rešitev je, ko so vsaj štirje členi enaki 0.

Leta 1769 je postavil trditev, da nobena od enačb oblike:

$x_1^n + x_2^n + ... + x_{n-1}^n = x_n^n$

nima nobene trivialne rešitve za $n \ge 3$ . Trditev sta ovrgla leta 1966 Leon J. Lander in Thomas R. Parkin s protiprimerom z $n = 5$ :

$27^5 + 84^5 +110^5 + 133^5 = 144^5 \; .$

Vpeljal je oznake e za osnovo naravnih logaritmov, i za $\sqrt{-1}$ , $f (x)$ za funkcijo spremenljivke x, a, b, c za stranice trikotnika, r, R za polmera trikotniku včrtanega in očrtanega kroga, sin, cos, tg, ctg za kotne funkcije, $Σ$ za vsoto.

Leta 1744 je zasledoval podobno načelo najmanjše akcije, ki ga je razvil tudi de Maupertuis in imel težave zaradi nerazumevanja nekaterih matematikov in Voltairovega posmeha. Euler je sodil, da izhaja načelo iz zakona gibanja in v njem ni iskal globljega pomena. Iz zakona o gibanju je pri metu ugotovil, da je najmanjše $\int z^{1/2} ds$ , pri centralnem gibanju pa $\int v ds$ . Tako je dobil uporabno načelo:

$\delta \int v(\mathbf{v} ds) = 0 \; .$

Načelo je zapisal še z živo silo, ki jo je izrazil z naporom:

${V\over T} = \; \hbox{konst} \; - V \; .$

Tedaj dela in potencialne energije še niso poznali. V zadnji enačbi vidimo danes izrek o ohranitvi kinetične in potencialne energije in v konstanti polno energijo. Tako je mogoče dati načelu tudi obliko:

$\delta \int T dt = - \delta \int V dt = 0 \; .$

Velja namreč:

${1\over 2} mv^2 dt = mv {ds\over dt} dt = mv ds \; .$

Če ima kinetična energija maksimum, ima potencialna energija minimum. Euler je uvidel, da je mogoče iz druge oblike načela ugotoviti tudi ravnovesne lege telesa. V ravnovesni legi ima potencialna energija minimum. Obstaja tudi ravnovesna lega, v kateri ima potencialna energija maksimum. Ta ustreza stožcu, ki stoji na konici, če ustreza prva stožcu, ki stoji na osnovni ploskvi. Prva je stabilna, druga labilna. Če pa je stožec zvrnjen vzdolž roba plašča je v indiferentni legi. Euler se je zavzel za de Maupertuisa, ko se je znašel v težavah. Leta 1753 je potrdil, da je on odkril načelo najmanjše akcije. De Maupertuis pa mu je priznal zasluge za njegovo obliko načela.

Začetke variacijskega računa je Euler podal leta 1744 v delu Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. V njem je podal posplošene rešitve nekaterih že znanih in rešenih problemov, povezanih z iskanjem izoperimetričnih krivulj, in našel še veliko primerov njihove uporabe. Euler se je na splošno zavzel za raziskovanje variacijske naloge. To ime je dobilo s časom iskanje funkcije $x (t)$ , za katero integral $\int f dt$ doseže ekstrem, če so funkcija $f = f (x, d x / d t, t)$ in spodnja in zgornja meja integrala $x 1$ in $x 2$ dane. Za izbrane primere, na primer za brahistokrono, so nalogo rešili Jakob Bernoulli in drugi. Splošno nalogo za brahistohrono je rešil Euler leta 1774.

Ob Eulerjevi smrti je matematik in filozof de Condorcet izjavil: »...et il cessa de calculer et de vivre« (»in prenehal je računati in živeti«).

Po Eulerju se imenuje asteroid 2002 Euler.

[uredi] Glej tudi

Euler-Maclaurinova enačba (okoli 1735),
Eulerjev disk,
Eulerjev izrek za vrtenje (Eulerjev rotacijski izrek),
Eulerjeva enakost štirih kvadratov,
Eulerjeva premica,
Eulerjevi koti,
krog devetih točk (Eulerjev krog).

Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org../../../l/e/o/Leonhard_Euler_b776.html«

Leonhard Euler

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

[uredi] Življenjepis

[uredi] Delo

[uredi] Glej tudi

Views

Navigacija

občestvo

podpora

Iskanje

V drugih jezikih