Число Мерсенна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Число́ Мерсе́нна (Mersenne number) — числа вида $M n = 2 n - 1$ , где $n$ — натуральное число. Числа носят имя французского математика Марена Мерсенна, жившего в начале XVII века.

Последовательность чисел Мерсенна начинается так:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (Последовательность A000225 из Энциклопедии целочисленных последовательностей)

Иногда числами Мерсенна называют числа $M p$ с простыми индексами $p$ . Эта последовательность начинается так:

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607,... (Последовательность A001348 из Энциклопедии целочисленных последовательностей)

[править] Свойства

Любой делитель числа $M p$ для простого $p$ имеет вид $2 p k + 1$ , где $k$ — целое число. (Это прямое следствие малой теоремы Ферма)
Эйлер доказал, что каждое чётное совершенное число имеет вид $2 p - 1 M p$ , где число Мерсенна $M p$ является простым.

[править] Простые чи́сла Мерсенна

Чи́сла Мерсенна получили известность в связи с эффективным критерием простоты Люка-Лемера, благодаря которому простые чи́сла Мерсенна давно удерживают лидерство как самые больши́е известные простые чи́сла (см. ссылки). На данный момент самым больши́м известным простым числом является число Мерсенна $M 32582657 = 2 32582657 - 1$ , найденное в сентябре 2006 года в рамках проекта распределённых вычислений GIMPS. Всего известно 44 простых числа́ Мерсенна, причём порядковые номера с уверенностью установлены только у первых 39-ти.

Последовательность простых чисел Мерсенна и их показателей начинается так:

M p

: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, ... (Последовательность A000668 из Энциклопедии целочисленных последовательностей)

p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ... (Последовательность A000043 из Энциклопедии целочисленных последовательностей)